خلاصه
 

نشان داده مي‌شود که به‌شرطِ معرفي علامت منفي براي هر رقم، مي‌توانيم همه‌ي اعداد را به پايه‌هاي فرد به‌گونه‌اي ببريم که به تنها حدوداً نيمي از ارقام مورد نياز در روش جاري نياز داشته باشيم. به احتمال زياد اين روش کاربردهاي متنوعي در فن‌آوري رايانه خواهد داشت.

پايه‌هاي جبري فرد
 

همچنان‌که مي‌دانيم مي‌توانيم يک عدد را در يک پايه‌ي طبيعي بزرگ‌تر از يا مساوي با دو به‌گونه‌اي بنويسيم که برابر باشد با جمع مضرب‌هاي توان‌هاي درست اين پايه درحالي‌که اين مضرب‌ها صفر يا اعداد طبيعي کوچک‌تر از پايه مي‌باشند. در اينجا نشان مي‌دهيم که مي‌توانيم يک عدد را در يک پايه‌ي طبيعي فردِ بزرگ‌تر از يک به‌گونه‌اي بنويسيم که برابر باشد با جمع جبري مضرب‌هاي توان‌هاي درست اين پايه درحالي‌که اين مضرب‌ها صفر يا اعداد صحيح (مثبت يا منفي) مي‌باشند که بزرگي هرکدام کمتر از نصف پايه است. اين واقعيت را با يک مثال ساده نشان مي‌دهيم.
فرض کنيد مي‌خواهيم اعداد را در پايه‌ي جبري 3 آنچنان‌که در بالا تعريف شد بنويسيم. صفر و اعداد طبيعيِ کمتر از نصف 3 عبارتند از 0 و 1. توان‌هاي درست (فعلاً غيرمنفي) 3 عبارتند از 30، 31، 32، 33، .... مي‌توانيم هر عدد صحيح (صفر، منفي يا مثبت) را به‌صورت يک جمع جبري منحصربه‌فرد از مضرب‌هاي صفر يا يک اين توان‌ها بنويسيم. مثلاً 208 (در پايه‌ي معمولي 10)، در پايه‌ي جبري 3 به‌صورت نوشته مي‌شود، زيرا .

راهي براي بردن يک عدد به پايه‌ي جبري 3 اين است که اولاً آن را با تقسيم‌هاي متوالي به پايه‌ي معمولي 3 ببريم.

مثلاً از راهِ
 

به‌دست مي‌آوريم آنگاه بايد پايه، در اينجا 3، را از هر رقمي که بزرگ‌تر از نصف پايه است کم کنيم، و درعوض يکي به رقم سمت چپش اضافه کنيم. مثلاً براي داريم:

(در صودت لزوم همچنين مي‌توانيم 3 را به يک رقم اضافه کنيم و درعوض 1 را از رقم سمت چپش کم کنيم. مثلاً:

پس ديديم .

همان‌گونه که به‌سادگي مي‌توان ديد اين نوع پايه به روشي طبيعي شامل اعداد منفي مي‌شود. جمع جبري اين اعداد به‌سادگي انجام مي‌شود (و روش جداگانه‌اي براي تفريق لازم نيست). مثلاً براي پايه‌ي جبري 3 داريم

يا

.
ضرب آنها نيز به‌سادگي انجام مي‌شود. مثلاً براي پايه‌ي جبري 3 داريم:

تقسيم آنها نيز به‌سادگي انجام مي‌شود. مثلاً براي پايه‌ي جبري 3 داريم:

به‌اين ترتيب، به‌جاي تقسيم‌ها و تبديل‌هاي متوالي انجام يافته در فوق براي به‌دست آوردن ،

مي‌توانستيم مستقيماً به روش زير عمل کنيم:

چنين وضعيتي نمي‌تواند براي يک پايه‌ي زوج به‌عنوان يک پايه‌ي جبري وجود داشته باشد، زيرا هر توان يک عدد زوج عددي زوج است، و از ضرب اين عدد زوج در هر عدد (فرد يا زوج) عددي زوج حاصل مي‌شود، و اين به اين معناست که به اين روش نمي‌توان اعداد فرد توليد کرد.
چنان‌که در مثال مربوط به پايه‌ي جبري 3 در بالا ديديم ما در اين پايه تنها با ارقام 0 و 1 (البته به‌طور جبري، يعني با استفاده از علامت منفي براي هر رقم) سروکار داريم. اين واقعيت احتمالاً در ساخت کامپيوترهايي که ترجيحاً براساس پايه‌ي جبري (بزرگترِ) 3 به‌جاي پايه‌ي 2 کار کنند مفيد خواهد بود. همچنين، به‌گونه‌اي مشابه، در پايه‌ي جبري 19، ما (البته به‌طور جبري) با 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، و 9 سروکار داريم، و اين واقعيت که براي پردازش سريع‌تر و قابليت دخيره‌سازي بيشتر اعداد با استفاده از پايه‌ي جبري (عدد بزرگ) 19 ما مي‌توانيم تنها تمام اعداد يک‌رقمي را، با استفاده از علامت منفي براي هرکدام هر جا که لازم باشد، به‌کار ببريم احتمالاً در فن‌آوري رايانه مفيد خواهد بود.
فُرمت pdf اين مقاله را در آدرس زير ببينيد:
http://sites.google.com/site/essaysforrasekhoon/home/oddalgebraicbases.pdf
/ن