از جمله اصولي که در نظريه اصل موضوعي مجموعه‌ها مورد نياز است اصول موضوعي است که بتوانند وجود مجموعه‌هاي جديد را تضمين نموده و مجموعه‌هاي جديد را براي ما توليد کنند. در نظريه اصل موضوعي مجموعه ها همه نتايج و تعاريف بر پايه اصول موضوع تعريف شده است و هر مطلب در مورد مجموعه‌ها يا بايد از اصول موضوع منتج شده باشد.

بحث غير رسمي

تقريباً تمامي اصول موضوع نظريه اصل موضوعي مجموعه‌ها (بجز مثلا اصل موضوع گسترش) از جمله اصولي هستند که به منظور توليد مجموعه‌هاي جديد از مجموعه هاي قبل طرح شده اند. اولين و مهمترين اصول از اين اصول مجموعه‌ ساز، اصل موضوع تصريح (Axiom of specification) است، که به اصل موضوع تصريح گاهي اصل موضوع زيرمجموعه (Axiom of subset) نيز مي‌گويند.
اين اصل به طور ساده بيان مي کند هر حکم يا خاصيت معقول در مورد اعضاي يک مجموعه، زيرمجموعه‌اي از آن مجموعه را تعيين مي‌کند. حال قبل از بيان دقيق اين اصل به يک مثال مي‌پردازيم.
فرض کنيد A مجموعه همه مردان باشد. در اين صورت گزاره نماي « x متاهل است. » گزاره ‌نمايي در مورد اعضاي A است که براي برخي از عناصر A گزاره‌اي درست و براي برخي ديگر از عناصر A نادرست است.
حال با به‌ کار گيري اين جمله در مورد اعضاي مجموعه A زيرمجموعه‌اي از A توليد مي شود که همان « مردان متاهل » است. براي نمايـش اين زيرمجمـوعه از مـجمــــوعـــه A از نمــــاد { x متاهل است :x?A} استفاده مي‌شود. همچنين { x متاهل نسيت :x?A} بر مجموعه مردان مجرد دلالت دارد.
به همين صورت مجموعه {پدر x آدم(ع) است|x?A} مجموعه دو عضوي هابيل و قابيل را مشخص مي‌کند.

اصل موضوع تصريح

‎اصل موضوع تصريح بيان مي کند اگر (P(x گزاره نمايي در مورد متغيير x باشد، در اين صورت:
يا در قالب عبارات ملموس تر متناظر با هر مجموعه A و هر گزاره نما(P(xمجموعه‌اي چون B هست که اعضاي آن دقيقاً همان عناصري از مجموعه A هستند که در شرط (P(x صدق مي‌کنند.
مجموعه B را به صورت نمايش مي‌دهيم همچنين اصل موضوع گسترش يگانگي مجموعه B را تضمين مي‌کند.
در مورد استفاده از اصل موضوع تصريح توجه به اين نکته لازم است که براي تعيين يک مجموعه، در نظر گرفتن يک شرط يا خاصيت چون (P(x کافي نمي‌باشد بلکه بايد مجموعه‌اي نيز باشد که بتوان خاصيت را براي عضوهاي آن تعريف کرد. و خلاصه اينکه براي مشخص کردن يک مجموعه کافي نيست وردي بخوانيم، بلکه لازم است مجموعه‌اي در دست داشته باشيم که ورد را براي اعضاي آن مجموعه بخوانيم.
با اين توضيح واضح است که شرط با شرط تفاوت دارد.
شرط اول يک مجموعه را مشخص نمي‌‌کند بلکه حالتي کاذب از اصل موضوع تصريح است ولي شرط دوم يک مجموعه را مشخص مي‌کند چون در آن شرط (P(x در مورد اعضاي يک مجموعه خاص به کار رفته است.
اين نکته دقيقاً همان چيزي است که از بروز پارادکسها همچون پارادکس راسل جلو گيري مي کند.
اصول موضوع مجموعه ساز ديگر (همانند اصل موضوع زوج سازي، اصل موضوع اجتماع، اصل موضوع مجموعه تواني و...) حالات خاص کاذبي از اصل موضوع تصريح مي‌باشند. همه آنها وجود مجموعه‌اي را بيان مي‌کنند که توسط يک شرط خاص مشخص مي‌شوند؛
اگر قبلاً وجود مجموعه‌اي که شامل همه عناصر مشخصي باشد معلوم باشد، در اين صورت وجود مجموعه‌اي که فقط شامل آن عناصر باشد در واقع به عنوان حالت خاصي از اصل موضوع تصريح نتيجه مي‌شود.
اگر (P(x گزاره نمايي در مورد x باشد به طوري که xهايي که در (P(x مشخص مي‌شوند تشکيل يک مجموعه بدهند، در اين صورت مي‌توان آن مجموعه را به صورت {x:s(x)} نمايش دهيم.