1.مقدمه

منطق فازي براي اولين بار در سال 1965 توسط لطفي زاده، پروفسور علوم کامپيوتر دانشگاه برکلي کاليفرنيا معرفي شد. در اصل، منطق فازي(FL) يک منطق چند مقداره است واين امکان را فراهم مي کند که مقادير واسطه بين ارزيابي هاي قراردادي مانند درست/غلط، بله/ خير، زياد/کم و غيره قرار گيرند. اصطلاحاتي چون نسبتا بلند يا خيلي سريع مي توانند به صورت رياضياتي فرمول بندي شوند و براي اينکه يک روش تفکر انساني در برنامه ريزي کامپيوترها استفاده شود، توسط کامپيوتر ها پردازش مي شوند. سيستم هاي فازي نمونه اي از عضويت مجموعه و منطق هستند که ريشه در فلسفه يونان باستان دارند. دقت رياضياتي مربوط به موفقيت ان در بخش اعظمي از تلاشهاي آريستوتول و فلاسفه ايي است که قبلا مي زيسته اند. در تلاش براي ثبت تئوري مختصر در منطق و رياضي، آنها "قوانين تفکر" را مطرح کردند.يکي از اين قوانين، " قانون اشتراک استثنايي" است که مي گويد خر گزاره يا درست است يا نادرست. حتي وقتي پارميندز اولين نسخه از اين قانون را معرفي کرد( حدود 400 سال قبل از ميلاد) مورد اعتراضات جدي قرار گرفت. هراکليتوس پيشنهاد کرده که هر چيز مي تواد همزمان يا درست باشد يا نادرست. پلاتو اساس کارش را بر منطق فازي گذاشته و گفته به جز درست و غلط جزء سومي هم وجود دارد.ديگر فلاسفه هم از اين ديدگاه تبعيت کرد اند از جمله هگل، مارکس و انگلس. لوکاسيويکز کسي بود که براي اولين بار روش سيستماتيکي را ارائه کرد که نمونه ايي از منطق دو مقداره آريستوتل است. حتي در زمان حال، برخي يونانيان در جريان فازي سازي پيش قدم هستند. (توجه: ارتباط با منطق در طي 2 هزار سال قبل از بين رفته بود). منطق فازي يک ابزار سودمندبراي کنترل و راهنمايي سيستم ها و فرآيندهاي صنعتي پيچيده است و در زمينه هاي وسايل برقي خانگي ،ابزارهاي تفريحي ، سيستم هاي تخصصي و همچنين طبقه بندي اطلاعات SAR کاربرد دارد.

2. مجموعه هاي فازي و مجموعه هاي قطعي (کريسپ):

يکي از نمونه هاي اصلي سيستم هاي فازي، مجموعه ( زير مجموعه) فازي است. در رياضيات کلاسيک، ما با مجموعه هاي قطعي آشنا هستيم. مثلا در مجموعه X تداخل سنجي احتمالي مقادير g ، کل اعداد واقعي بين 0 و 1 را در بر مي گيرد. از مجموعه X مي توان زير مجموعه A را تعريف کرد( مثلا کل مقادبر 0≤g≤0.2). مشخصه تابع A ( مثلا اين تابع بسته به اينکه آيا جزء در زير مجموعه A قرار دارد يا نه،عدد 1 يا 0 را به هر جزء در X اختصاص مي دهد) در شکل 1 نشان داده شده است. عناصري که عدد 1 به آنها اختصاص داده شده آنهايي هستند که در مجموعه A قرار دارند و عناصري که عدد صفر به آنها اختصاص داده شده در مجموعه A قرار نمي گيرند.

شکل 1: مشخصات تابع در يک مجموعه قطعي

اين نظريه کاربرد هاي زيادي دارد ولي در برخي زمينه ها از جمله طبقه بندي آناليز اطلاعات دريافتي از راه دور فاقد انعطاف پذيري هستند. مثلا، در تصاوير SAR مي بينيم که آب داراي ارتباط تداخل سنجي کم g است. چون g از صفر شروع مي شود، بايد حد پايين اين مجموعه مشخص باشد. از طرف ديگر حد بالاتر به راحتي قابل تشخيص نيست. در ابتدا ما حد بالاتر را0.2 در نظر مي گيريم.بنابراين B به عنوان فاصله قطعي B=[0,0.2] بدست مي آيد. اين به آن معناست که g به مقدار 0.2 کم است ولي اگر اين مقدار 0.21 باشد مقدار کمي محسوب نمي شود. مشخص است اين يک مسئله ساختاري است زيرا اگر ما از مرز بالايي g= 0.2 به سوي يک نقطه اختياري پيش برويم، مي توانيم سوال مشابهي را مطرح کنيم. يک روش طبيعي تر براي ايجاد مجموعه B، تمايز مرز "کم است" و "کم نيست" مي باشد. اين کار نه تنها مي تواند با ايجاد تصميم گيري قطعي بله/ خير انجام شود بلکه مي تواند از طريق قوانين انعطاف پذيري چون " نسبتا کم" امکان پذير باشد. مجموعه فازي به ما امکان مي دهد تا اين نظريه را تعريف کنيم. هدف از آن استفاده از مجموعه هاي فازي ، ساخت کامپيوترهاي هوشمند است. بنا براين نظريه فوق را مي توان به صورت رسمي تر کد بندي کرد. در مثال، کل عناصر با 0 و 1 کد بندي شده اند. يک روش دقيق براي تعميم اين موضوع اين است که مقادير بيشتري را بين 0 و 1 در نظر بگيريم. در حقيقت، بسياري از جايگزين ها مي توانند بين مرزهاي 0 و 1 قرار گيرند يعني فاصله واحد برابر با I= [0,1] است. تفسير اعدادي که به کل عناصر اختصاص داده شده است بسيار مشکل مي باشد. البته اختصاص عدد 1 به يک عنصر به اين معناست که عنصر در مجموعه B قرار گرفته و اختصاص عدد 0 به اين معناست که عنصر قطعا در مجموعه B قرار ندارد. اين نتيجه در شکل 2 آمده است. تابع عضويت يک نمودار گرافيکي از ميزان مشارکت هر ورودي است که با زياد شدن مقدار توسط هر کدام از ورودي هايي که پردازش شده اند ارتباط دارد. همچنين هم پوشاني ميان ورودي ها تعريف شده است و در نهايت پاسخ خروجي تعيين مي شود. قوانين از مقادير عضويت ورودي به عنوان فاکتورهاي افزايشي براي تعيين تاثير آنها بر مجموعه هاي خروجي فازي استفاده مي کنند تا خروجي نهايي بدست آيد.
در اينجا، تابع عضويت که در مجموعه هاي فازي ارتباط تداخل سنجي g نقش دارد، مقداري بين 0.0 و 1.0 است. مثلا،ارتباط تداخل سنجي g به ميزان 0.3 داراي عضويت 0.5 براي مجموعه ايي با کمترين ارتباط است.( شکل 2). خاطر نشان مي شود که بايد تفاوت ميان منطق فازي و احتمالات در نظر گرفته شود. هر دو در دامنه عددي يکسان فعال هستند و داراي مقادير مشابهي مي باشند: 0,0 نشانگر اصطلاح غلط (يا غير عضو) و 1.0 نشانگر اصطلاح درست ( يا عضويت کامل) مي باشد. به هر حال تفاوتي بين اين دو گزاره وجود دارد: روش احتمالات گزاره فرضيه زبان طبيعي را نشان مي دهد" شانس اينکه g کم باشد، 50 درصد است" در حالي که دراصطلاح فازيگفته مي شود" درجه عضويت g در مجموعه ارتباط تداخل سنجي 50/0است".تفاوت معنايي موجود در اين عبارات مهم است: اولين ديدگاه مي گويد که g يا کم است يا کم نيست. درست مثل اينکه ما فقط 50 درصد شانس داشته باشيم تا بدانيم در چه مجموعه ايي قرار دارد. در مقابل، اصطلاح فازي نشان مي دهد که g "کم و بيش" کم است يا مي تواند معادل عدد 50/0 در نظر گرفته شود.

شکل 2: تابع مشخصات يک مجموعه فازي

3. عملکردهاي سيستم فازي

مي توان عملکردهاي اصلي مجموعه هاي فازي را معرفي کرد. همانند عملکردهاي مجموعه هاي واقعي، ما مي خواهيم به تقسيم، اصلاح و خنثي کردن (بي اثر کردن) مجموعه هاي فازي بپردازيم. لطفي زاده در اولين مقاله خود در مورد مجموعه هاي فازي حد اقل اپراتور را براي اصلاح و حد اکثر اپراتور را براي ترکيب دو مجموعه فازي پيشنهاد کرده است. نشان داده شده که اين اپراتورها منطبق با يکي سازي واقعي هستند و اگر ما فقط ميزان عضويت 0 و 1 در نظر بگيريم، تقسيم انجام مي شود. مثلا اگر A يک فاصله فازي بين 5 و 8 و B هم عدد فازي در حدود 4 باشد، نتيجه به صورت شکل زير نشان داده مي شود:

شکل 3: نمونه ايي از مجموعه هاي فازي

در اين حالت، مجموعه فازي بين 5 و AND 8 حدود 4 است که به اينصورت نشان داده مي شود:

شکل 4: مثال: AND فازي

مجموعه بين 5 و OR 8 حدود 4 است که در شکل بعد آمده است.
NEGATION مجموعه فازي A در زير نشان داده شده است.

4. طبقه بندي فازي

شکل 5. مثال: OR فازي

شکل 6: مثال: NEGATION فازي

يکي از موارد کاربردي تئوري فازي، طبقه بندي کننده هاي فازي هستند. در اين جريان، دانش کارشناسي مورد استفاده قرار گرفته و مي تواند با استفاده از متغيرهاي زباني به صورت طبيعي بيان شود که توسط مجموعه هاي فازي شرح داده مي شوند.
حال دانش کارشناسي براي اين متغيرها را مي توان به صورت قوانين زير فرمول بندي کرد.
اگر ترکيب ( کيفيت) A کم و ترکيب ( کيفيت)B، C ,و Dمتوسط باشند پس اين گروه متعلق به طبقه 4 است.
اين قانون را مي توان در يک جدول نشان داد:

طبقه	ترکيب D	ترکيب C	ترکيب B	ترکيب A	R#
طبقه1	متوسط	متوسط	متوسط	کم	1:
طبقه 2	کم	متوسط	زياد	متوسط	2:
طبقه 3	زياد	متوسط	زياد	کم	3:
طبقه 1	زياد	متوسط	زياد	کم	4:
طبقه	متوسط	متوسط	متوسط	متوسط	5:
...	...	...	...	...	…:
مجهول	کم	متوسط	زياد	کم	N:

جدول 1: مثالي براي مبناي قانون فازي: قوانين به اينصورت خوانده مي شوند ( قانون شماره 1: اگر A کم باشد و H در حد متوسط، و αو A در حد متوسط باشند، پس پيکسل طبقه 1 است).
قوانين زباني به شرح سيستم کنترل بر طبق دو بخش مي پردازد: يکي بلوک مرجع( بين اگر و سپس) و ديگري بلوک تالي( منطقي) ( به دنبال پس). با توجه به در نظر گرفتن سيستم، لازم نيست به ارزيابي هرکدام از ترکيب هاي ورودي احتمالي بپردازيم چون برخي ممکن است به ندرت رخ دهند يا اصلا رخ ندهند. با انجام اين ارزيابي که معمولا توسط اپراتور مجرب انجام مي شود، قوانين کمتري را مي توان ارزيابي کرد ساده ترشده و حتي عملکرد سيستم منطق فازي را بهبود مي يابد.

شکل 7: مثال: متغير هاي زباني

يابدورودي ها با استفاده از اپراتور به صورت منطقي ترکيب شده و پاسخ خروجي را ارائه مي کنند.. قدرت ترکيبي براي هر تابع عضويت خروجي محاسبه شده است. آن چه که باقي مي ماند براي ترکيب اين مجموع منطقي در فرآيند غير فازي شدن استفاده مي شود تا خروجي واقعي بدست آيد. مثلا براي قانون، نتايج مربوط به هر گروه که تداخل حداقل- حداکثرو يکساني نام دارند، بدست مي آيد که تابع مشخصات مورد نظر است. مثلا بر اساس داده هاي جفت ورودي زير، شکل زير بدست مي آيد:
H= 0.35 , آلفا=30

شکل 8: تداخل براي قانون "اگر H خيلي کم و کم باشد، پس در گروه 1 قرار مي گيرد".

خروجي هاي فازي براي کل قوانين در يک مجموعه فازي قرار مي گيرد. براي تصميم گيري قطعي از اين خروجي فازي، مي توان مجموعه فازي را از حالت فازي خارج کرد .بنابراين، ما بايد يک مقدار معرف را به عنوان خروجي نهايي انتخاب کنيم. چندين روش ( روش هاي غير فازي سازي) وجود دارد. يکي از آنها به عنوان مثال گرفتن مرکز ثقل مجموعه فازي است که در شکل 7 نشان داده شده است که براي مجموعه هاي فازي کاربرد زيادي دارد.

شکل 9: دي فازي شدن با استفاده از روش مرکز ثقل

4.1: مثال: طبقه بندي اطلاعات قطب سنجي SAR
يکي از روشهاي کاربرد منطق فازي براي طبقه بندي اطلاعات SAR استفاده از مبناي قانوني فازي براي ترکيب دانش تخصصي است. اين قوانين با روشي توصيفي ارائه مي شوند و در ارزيابي آنها مي توان از روشهاي استدلال محاسباتي استفاده کرد. در مقاله به چند منبع علمي که به اين نکته پرداخته اشاره شده و شرح داده شده است.

تصميم	α	H	λ
شهري		متوسط	بسيار بالا
شهري	متوسط/ زياد	بسيار کم	بالا يا خيلي بالا
جنگل		بالا	بالا
جنگل گياه گياه	متوسط/ زياد متوسط/ کم کم	بالا متوسط کم يا بسيار کم	متوسط متوسط متوسط
بستر رودخانه (گذرگاه)			(بسيار) کم

جدول 2: قوانين طبقه بندي

در ابتدا ما مجموعه " قوانين تخصصي" را که در طبقه بندي تصوير استفاده مي شود تثبيت مي کنيم. مثلا خط سوم به اينصورت خوانده مي شود: اگر λ زياد و H زياد باشد پس پيکسل جزء گروه جنگل قرار مي گيرد. هر اصطلاح که در آن قانون " λ زياد است" متغير زباني ناميده مي شود، داراي ماهيتي مبهم است. بر اساس نظريه زاده، مي توان آنها را با مجموعه هاي فازي شرح داد. مجموعه فازي A توسط تابع عضويت Aμ از Xi (مثلا مقادير احتمالي متغير –XH= [0,1] براي آنتروپي H، Xα= [0,90] براي زاويه α) براي فاصله مورد نظر [1و0] تعريف مي شود. ما A(x)μ را به عنوان درجه عضويت x در A تفسير مي کنيم. متغير هاي زباني و معرف آنها به عنوان مجموعه هاي فازي در شکل 10 نشان داده شده است. براي آنتروپي و پارامترهاي زاويه α مي توان اطلاعات مجموعه هاي فازي را به صورت مستقل تعريف کرد. معمولا نمي توان براي اولين مقدار ويژه و بر اساس اطلاعات اين تعريف را داشت. بنابراين اين مجموعه هاي فازي براي متغير هاي زباني به صورت متقابل تعريف شده اند. در پايان براي ديدن اولين مقدار ويژه، لگاريتم آن استفاده شده و در فاصله خاکستري رنگ [0,255] درجه بندي مي شود.در اين فاصله 6 مقدار اتفاقي (خاکستري) انتخاب شده است( مثلا از بسيار کم (آب يا هر سطح بسيار نرم) تا بسيار زياد( انعکاس هاي حاصل از ساختمان)

انتخاب شده اند. اين مقادير تعيين کننده شکل تابع عضويت (شکل 10) مي باشند. براي تسهيل محاسباتي در کل موارد، بخشهاي مثلثي يا ذوزنقه ايي انتخاب شدند.

شکل 10: متغير هاي زباني و نمايش آنها به صورت مجموعه هاي فازي

حال به دنبال قوانين بدست آمده در جدول2 و با کمک نتايج ارائه شده توسط ممداني، الگوريتم بدست آمده براي گروه پيکسل نشان داده مي شود.
براي پيکسل تصوير، ورودي سيستم داراي سه مقدار است (,H,αλ ). در اولين مرحله، اين سه مقدار فازي شده اند مثلا براي هر متغير زباني، درجه (ميزان) بر اساسي تعيين مي شود که (,H,αλ ) آن را کامل مي کند. اين کار با ارزيابي مقادير توابع عضويت انجام مي شود. مثلا براي سه مقدار100, 0.5, 30]] = [(,H,αλ ).]، درجه "λ متوسط" به صورت medium-λ= 0.74 μ مي باشد. درجه (ميزان) اصول قبلي را مي توان با حداقل در نظر گرفتن کل درجات موجود محاسبه کرد. همچنين اين درجه چيزي است که قانون در آن کامل شده است. مثلا درجه (ميزان) نتيجه. به عنوان مثال سه مقدار (100, 0.5, 30) مي تواند قانون سوم را با درجه degree(rule3)=min{μhigh –λ(100), μhigh- entropy(0.5)}= min{0.74, 1}=0.74 کامل کند.پس درجه گروه :جنگل" با در نظر گرفتن حد اکثر در کل قوانيني که به شرح اين گروه مي پردازد، محاسبه مي گردد مثلا degrre(forest)= max {degree (rule3), degree (rule 6)}.. پس ممکن است پيکسل متعلق به چندين گروه با درجات مختلف باشد. اين حقيقتي است که نشان مي دهد مسئله در يک رزولوشن بيش از يک گروه را شامل مي شود. براي رسيدن به طبقه بندي قطعي از طبقه بندي فازي، خروجي فازي سيستم بايد از حالت فازي خارج شود. مثلا اين کار مي تواند با انتقال گروه با حداکثر درجه به پيکسل انجام شود. به هر حال، با اين کار، آخرين مرحله اطلاعات از بين مي رود. مثلا پيکسلي که متعلق به گروه " جنگل" است با درجه 8/0 و آنکه متعلق به گروه "شهر" است با درجه 9/0 به گروه " شهر" اختصاص داده مي شوند. وجود اطلاعات اضافي يکي از محاسن سيستم فازي نسبت به سيستم هاي طبقه بندي قطعي است. مثلا در زمينه بعدي بر اساس فيلترسازي ، اين اطلاعات در صورتي قابل ارزيابي هستند که يک پيکسل متعلق به گروه A توسط پيکسل هاي متعلق به گروه B باشد و ميزان عضويت براي گروه B پيکسل مورد نظر زياد باشد.

شکل 11: متغير هاي زباني و نمايش آنها به عنوان مجموعه هاي فازي

6. نتيجه گيري

منطق فازي مي تواند روش متفاوتي براي کنترل يا طبقه بندي مسئله ارائه کند. اين روش به جاي اينکه سعي داشته باشد بفهمد سيستم چگونه کار مي کند،بيشترتکيه بر چيزي دارد که سيستم بايد انجام دهد حتي اگر مدلسازي رياضياتي سيستم امکان پذير باشد، فرد بايد بيشتر بر حل مسئله توجه داشته باشد. از طرف ديگر، روش فازي نياز به دانش تخصصي کافي براي فرمول بندي قانون، ترکيب مجموعه ها و خارج کردن از حالت فازي دارد. عموما، براي مراحل بسيار پيچيده در زماني که مدل رياضياتي ساده ( مانند تبديل مسائل) براي مراحل غيرخطي يا در زماني که فرآيند دانش تخصصي ( به صورت زباني فرمول بندي شده) استفاده مي شود، کاربرد منطق فازي مي تواند مفيد باشد.بر طبق مقالات ارائه شده، اگر روشهاي قديمي نتايج رضايت بخشي را به همراه دارد، اگر مدل رياضياتي کافي و قابل حل وجود داشته باشد و يا اگر مسئله غير قابل حل است، کاربرد منطق فازي قابل توصيه نمي شود.
منابع :
[1] L.A. Zadeh, Fuzzy Sets, Information and Control, 1965
[2] L.A. Zadeh, Outline of A New Approach to the Analysis of of Complex Systems and Decision Processes, 1973
[3] L.A. Zadeh, ”Fuzzy algorithms,” Info. & Ctl., Vol. 12, 1968, pp. 94-102.
[4] L.A. Zadeh, ”Making computers think like people,” IEEE. Spectrum, 8/1984, pp. 26-32.
[5] S. Korner, ”Laws of thought,” Encyclopedia of Philosophy, Vol. 4, MacMillan, NY: 1967, pp.414-417.
[6] C. Lejewski, ”Jan Lukasiewicz,” Encyclopedia of Philosophy, Vol. 5, MacMillan, NY: 1967, pp.104-107.
[7] A. Reigber, ”My life with Kostas”, unpublished report, Neverending Story Press , 1999
[8] J.F. Baldwin, ”Fuzzy logic and fuzzy reasoning,” in Fuzzy Reasoning and Its Applications, E.H.Mamdani and B.R. Gaines (eds.), London: Academic Press, 1981.
[9] W. Bandler and L.J. Kohout, ”Semantics of implication operators and fuzzy relational products,”
in Fuzzy Reasoning and Its Applications, E.H. Mamdani and B.R. Gaines (eds.), London: Aca-
demic Press, 1981.
[10] M. Eschbach and J. Cunnyngham, ”The logic of fuzzy Bayesian in?uence,” paper presented at the International Fuzzy Systems Association Symposium of Fuzzy information Processing in Arti?cial Intelligence and Operational Research, Cambridge, England: 1984.
[11] F. Esragh and E.H. Mamdani, ”A general approach to linguistic approximation,” in Fuzzy Rea-soning and Its Applications, E.H. Mamdani and B.R. Gaines (eds.), London: Academic Press,1981.
[12] J. Fox, ”Towards a reconciliation of fuzzy logic and standard logic,” Int. Jrnl. of Man-Mach.Stud., Vol. 15, 1981, pp. 213-220.
[13] S. Haack, ”Do we need fuzzy logic?” Int. Jrnl. of Man-Mach. Stud., Vol. 11, 1979, pp.437-445.
[14] T. Radecki, ”An evaluation of the fuzzy set theory approach to information retrieval,” in R.
Trappl, N.V. Findler, and W. Horn, Progress in Cybernetics and System Research, Vol. 11:
Proceedings of a Symposium Organized by the Austrian Society for Cybernetic Studies, Hemi-
sphere Publ. Co., NY: 1982.
[15] R. Kruse, J. Gebhardt, F. Klawon, ”Foundations of Fuzzy Systems”, Wiley, Chichester 1994
[16] Zimmermann H.J., Fuzzy Sets, Decision Making and Expert Systems , Boston, Kluwer 1987
[16] M. Hellmann, ”Classi?cation of fully polarimetric SAR for Cartographic Applications”, DLR Forschungsbericht FB–2000–19 , PhD thesis, DLR, Oberpfaffenhofen, Germany, 2000
/ع