آزمايش عبارت از فرآيند گردآوري داده‌هاي مربوط به پديده‌اي است که برآمدهاي آن متفاوتند.

مقدمه

مفهوم احتمال در آزمايشهايي مطرح مي‌شود که در برآمدهاي آنها عدم حتميتي وجود داشته باشد. يعني ، در مواردي که عليرغم هر گونه کوششي در ثابت نگاه داشتن شرايط ، تغيير نتايج در تکرار آزمايش اجتناب ناپذير است. اصطلاح آزمايش محدود به آزمايشهايي که در آزمايشگاه انجام مي‌شوند نيست، بلکه شامل هر نوع فعاليتي است که منجر به گردآوري داده‌هاي مربوط به پديده‌اي شود که مشاهدات مکرر روي آن ، نتايج متفاوتي بدست مي‌دهند. قلمرو کاربرد احتمال ، تمام پديده‌هايي را دربرمي‌گيرد که در مورد آنها ، برآمدها را از پيش بطور دقيق نمي‌توان پيش بيني کرد.

فضاي نمونه

مجموعه تمام برآمدهاي متمايز ممکن آزمايش ، فضاي نمونه برآمدها ناميده مي‌شود، و هر برآمد متمايز يک پيشامد ساده ، يا يک برآمد مقدماتي ، يا يک عنصر فضاي نمونه خوانده مي‌شود. فضاي نمونه را با S نشان مي‌دهند.

مثالهاي ساده

آزمايش (الف): جنس اولين دو نوزادي را که فردا در شهر به دنيا مي‌آيند، يادداشت مي‌شود.
آزمايش (ب): از ده نفر دانشجو بطور جداگانه سوال مي‌شود که از بين دو نوع غذاي الف و ب که در ناهار به دانشجويان مي‌دهند، کدام را ترجيح مي‌دهد. سپس تعداد دانشجوياني که غذاي الف را ترجيح مي‌دهند، يادداشت مي‌شود.
در هر موقعيت مفروض ، فضاي نمونه را به يکي از دو طريق زير معرفي مي‌کنند. يا تمام نتايج ممکن آزمايش را ، با استفاده از علايم مناسب مشخص کردن آنها ، فهرست‌وار مي‌نويسند و يا آنکه عبارتي توصيفي ارائه مي‌کنند که ويژگيهاي مجموعه نتايج را مشخص سازد. فضاهاي نمونه 2 آزمايش قبلي را مي‌توان به صورت زير معرفي کرد:

آزمايش)الف)

: {BB ، BG ، GB ، GG}
که اين مجموعه s است که در آن ، مثلا BG نشان دهنده اين است که نوزاد اول پسر و نوزاد دوم دختر است.
آزمايش (ب): مجموعه s برابر {0 ، 1 ، .... ، 10} مي‌باشد.

پيشامد

عناصر فضاي نمونه ، حاصل از تجزيه نهايي نتايج به امکانات متمايز هستند. هر بار که آزمايش اجرا مي‌شود، يک و تنها يک برآمد مقدماتي مي‌تواند رخ دهد. غالبا ممکن است که چند برآمد مقدماتي خصوصيت توصيف شده مشترکي داشته باشند، و اين برآمدها اگر باهم در نظر گرفته شوند، يک پيشامد تشکيل مي‌دهند که داراي خصوصيت بيان شده است. بر طبق اين تعريف ، يک برآمد مقدماتي ممکن است خود به تنهايي يک پيشامد باشد و اين درصورتي است که آن برآمد ، تنها برآمدي باشد که در خاصيت مورد نظر صدق مي‌کند.

تعريف پيشامد

مجموعه‌اي از برآمدهاي مقدماتي را که با توصيف بعضي از خصوصياتشان مشخص شده‌اند، پيشامد گوييم. پيشامد زير مجموعه از فضاي نمونه S است. چند حرف بزرگ اول الفباي لاتين (…,C,B,A) ، معمولا براي نشان دادن پيشامدها بکار مي‌روند. وقتي يک برآمدهاي مقدماتي موجود در A رخ مي‌دهد، گوييم پيشامد پيشامد A رخ مي‌دهد. براي اينکه مفهوم پيشامد روشنتر شود، فضاي آزمايش (الف) را بررسي مي‌کنيم که در آن جنس دو نوزاد ثبت مي‌شود. فرض کنيد A پيشامد دقيقا يک دختر باشد. پيشامدي با اين خصوصيت توصيف شده را به صورت مجموعه {BG ، GB} نشان مي‌دهيم.

انواع فضاي نمونه

فضاي نمونه گسسته: فضاي نمونه‌اي را که تعداد عناصر متناهي يا بطور شمارش پذير متناهي باشد، فضاي نمونه گسسته گوييم.
فضاي نمونه پيوسته: وقتي فضاي نمونه شامل تمام اعداد متعلق به يک فاصله باشد، آن را فضاي نمونه پيوسته گوييم.

مدل احتمال روي فضاي نمونه نا متناهي

فضاي نمونه نامتناهي شمارش پذير
در اين حالت فضاي نمونه به صورت يک مجموعه نامتناهي اما شمارش پذير است . در اين فضا هر پيشامد زيرمجموعهاي از فضاي نمونه است و احتمال هر پيشامد را همانند حالت فضاي نمونه متناهي حساب ميکنيم.
مثال) سکه اي را آنقدر پرتاب مي کنيم تا يک شير مشاهده کنيم و سپس توقف مي کنيم
الف – احتمال اينکه تعدادي فرد پرتاب لازم باشد را بيابيد.
ب- احتمال اينکه حدافل 7 پرتاب لازم باشد را بيابيد.
حل = P(1) + P(3) +P(5) + …. ( تعدادي فرد پرتاب لازم باشدP)
ب –

فضاي نمونه پيوسته

در اين حالت خاص فضاي نمونه پيوسته را به مي توان به صورت يک فاصله از اعداد حقيقي در نظر گرفت.
احتمال پيشامد A به صورت زير محاسبه مي شود.

احتمال يک پيشامد

تصور شهودي ما از اندازه عددي احتمال يک پيشامد ، نسبت دفعاتي است که انتظار مي‌رود آن پيشامد رخ بدهد، وقتي که آزمايش تحت شرايط يکسان تکرار گردد. علامت (P(A براي نشان دادن احتمال پيشامد A بکار مي‌رود. فرآيند مناسب براي تعين احتمال پيشامدها ، بستگي به طبيعت آزمايش و فضاي نمونه مربوطه دارد. در بعضي موارد ، مي‌توان نسبت دفعاتي را که انتظار مي‌رود هر برآمد مقدماتي رخ بدهد، با استنتاج منطقي و بدون آنکه آزمايش عملا اجرا شود، تعيين کرد. در موارد ديگر ، لازم است آزمايش را براي تعداد زيادي از دفعات تکرار کرد تا اطلاعاتي در مورد فراواني وقوع برآمدهاي گوناگون بدست آيد.

برآمدهاي مقدماتي هم شانس

اگر نوعي تقارن در آزمايش وجود داشته باشد که مطمئن باشيم وقوع يک برآمد همان قدر امکان دارد که وقوع هر برآمد ديگر ، گوييم فضاي نمونه داراي برآمدهاي مقدماتي هم شانس است. براي مثال ، اين آزمايش را در نظر بگيريد که تاس سالمي پرتاب شود و شماره روي وجه بالايي آن بعد از هر پرتاب يادداشت گردد. امکان رو آمدن هر يک از شش وجه اين مکعب متقارن ، يکسان است.
بدون اجراي آزمايش ، بطور منطقي مي‌توان نتيجه گرفت که نسبت دفعاتي که انتظار مي‌رود يک وجه خاص رو بيايد برابر يک ششم است. اگر يک فضاي نمونه شامل K برآمد مقدماتي e1} ، ... ، {ek باشد که بطور هم شانس رخ بدهند، احتمال برآمد مقدماتي برابر با يک Kام است. اگر پيشامد A شامل m برآمد از k برآمد مقدماتي باشد، داريم: P(A) = m/K و گوييم فضاي نمونه‌اي که عناصرش هم شانس‌اند، داراي مدل احتمال يکنواخت است.

پايداري فراواني نسبي

هر گاه آزمايشي N بار تکرار شود تعريف زير را مي‌آموزيم:
تعداد دفعاتي که A در N بار تکرار آزمايش رخ دهد rN (A)=
فراواني نسبي پيشامد A در N بار تکرار آزمايش را با rN (A) نشان مي‌دهند. در آن فراواني نسبي A نسبت دفعاتي است که پيشامد A عملا در مجموعه مفروضي از N بار تکرار آزمايش رخ مي‌دهد. اين مقدار براي مجموعه‌هاي مختلف تغيير مي‌کند. کسر فراواني نسبي A با تغيير مجموعه آزمايشها نوعا نوسان مي‌نمايد. لکن ، تجربه مشترکي که از آزمايشها در بسياري از رشته‌ها بدست آمده اين است که اگر شرايط آزمايش بطور محسوسي تغيير نکنند، کسر فراواني نسبي A ، وقتي که N افزايش مي‌يابد، ميل به سوي پايداري در يک مقدار عددي مي‌کند.
گواه تجربي براي انتساب مقدار عددي P(A) به احتمال پيشامد A ، از مشاهده پايداري فراواني نسبي A بعد از تکرار بسيار آزمايش بدست مي‌آيد. از مفهوم فراواني نسبي چنين برمي‌آيد که احتمال پيشامد A ، يعني نسبت دفعات وقوع A در تکرار آزمايش ، بايد بين صفر و يک باشد. به علاوه چون در هر بار تکرار آزمايش برآمد مقدماتي رخ مي‌دهد، احتمالي که به تمام فضاي نمونه نسبت داده مي‌شود برابر با يک است. بالاخره ، چون فراواني نسبي وقوع پيشامد A برابر با مجموع فراوانيهاي نسبي تمام برآمدهاي مقدماتي در A مي‌باشد، احتمال A برابر با مجموع احتمالهاي آن برآمدهاي آن برآمدهاي مقدماتي که پيشامد A را مي‌سازند در نظر گرفته مي‌شود.

شرايط مدل احتمال براي فضاهاي نمونه گسسته

احتمال تابعي است که روي پيشامدها تعريف مي‌شود، و در شرايط زير صدق مي‌کند:
1) براي هر پيشامد 00?P(A)?1 , A
2) P(A)، برابر مجموع احتمالهاي برآمدهاي مقدماتي متعلق به A است؛ به عبارت ديگر: (P(A)=?P(ei تمام eiهاي متعلق به A
3) P(S)=?P(ei)=1 تمام eiهاي متعلق به( S

عمليات روي پيشامدها و قوانين پايه‌اي احتمال

اجتماع دو پيشامد B,A ، مجموعه تمام برآمدهاي مقدماتي که در A يا در B ، و يا هم در A و هم در B ، قرار دارند. وقوع به معني اين است که حداقل يکي از دو پيشامد B,A رخ مي‌دهد.
اشتراک دو پيشامد B,A مجموعه تمام برآمدهاي مقدماتي است که هم به A و هم به B تعلق دارند. وقوع به معني اين است که هر دو پيشامد B,A رخ مي‌دهند.
متمم پيشامد A مجموعه تمام برآمدهاي مقدماتي است که در A نيستند. متمم A به صورت ? نشان داده مي‌شود. اين حکم که A رخ نمي‌دهد و مترادف اين حکم است که ? رخ مي‌دهد.
دو پيشامد B,A را پيشامدهاي جدا از هم يا دو به دو ناسازگار گوييم اگر هيچ برآمد مقدماتي مشترکي نداشته باشند. يعني اگر اشتراک آنها ، AB ، تهي باشد. پيامدهاي جدا از هم نمي‌توانند بطور همزمان رخ دهند.
زير پيشامد پيشامد A را زير پيشامد پيشامد B گوييم هرگاه وقوع A وقوع B را نتيجه دهد.
دو پيشامد مساوي دو پيشامد A,B را مساوي گوييم هرگاه وقوع يکي ديگري را نتيجه دهد.A=B
منابع:
1-http://daneshnameh.roshd.ir
2- http://learn-m-p-l.persianblog.ir
3-كتاب امارو احتمال جان فروند والپول
/خ