مقدمه
 

در اثرِ هال مشاهده مي‌شود که وقتي ميداني مغناطيسي عمود بر سطحِ يک نوار رساناي حامل جريان اِعمال کنيم، درصورتي‌که دو نقطه‌ي مقابل از دو ضلع نوار را به‌وسيله‌ي يک سيمِ فرعي به‌هم وصل کنيم جرياني الکتريکي در اين سيم جاري خواهد شد. درصورتي‌که جهت جريان در نوار بلاتغيير بماند ديده مي‌شود که جهت جريان در سيم فرعي به جنس نوار بستگي دارد.
آنچه در اين اثر قابل توجه است اين است که وجود دو جهتِ مختلف در سيم، که بستگي به جنس نوار حامل جريان دارد، در نگاهِ اول نشان مي‌دهد که نوعِ حامل‌هاي جريان در نوار به جنس نوار بستگي دارد، يعني در بعضي موارد مطابق معمول الکترون‌ها حامل جريانند و در موارد ديگر بارهاي مثبت بايد حامل جريان باشند.
در مورد مکانيسم حمل جريان به‌وسيله‌ي الکترون‌ها بحثي نيست. اِشکال در توضيح مکانيسم حمل جريان وقتي آشکار مي‌شود که قرار باشد بارهاي مثبت حاملين جريان باشند درحالي‌که فرض مي‌شود بارهاي مثبت در جامدات ساکن مي‌باشند. براي رفع اين اِشکال ادعا مي‌شود که درواقع اين يون‌هاي مثبت نيستند که با جاري شدن در سيم جرياني الکتريکي را باعث مي‌شوند بلکه اين حفره‌ها يا درواقع مکان‌هاي خاليِ الکترون‌ها هستند که با يک حرکتِ ظاهري جريان را چنان حمل مي‌کنند که گويي يون‌هاي مثبت چنين مي‌کنند.
روشن است که وقتي جاهاي خاليِ الکترون‌ها (يا حفره‌ها) قرار باشد جابه‌جا شوند درواقع الکترون‌ها در همان جهتِ معمولِ خود حرکت مي‌نمايند و درحقيقت چيز تازه‌اي اتفاق نمي‌اُفتَد. به‌علاوه، درحالي‌که کاملاً معقول است که الکتروني درحالِ حرکت در ميداني مغناطيسي متحمل نيرويي (عمود بر مسير الکترون و بر ميدان مغناطيسي) شود کاملاً نامعقول است که بگوييم يک جايِ خالي (جاي خاليِ يک الکترون يا يک حفره) که به‌طور ظاهري درحال جابه‌جايي در ميداني مغناطيسي است نيرويي را تحمل مي‌کند که باعثِ حرکتِ آن به‌سمتِ يکي از دو لبه‌ي نوار مي‌شود زيرا نيرو تنها بر ماده قابلِ اِعمال است نه بر «هيچ چيز»!
در تلاش براي توجيهِ حمل جريان به‌وسيله‌ي جابه‌جاييِ حفره‌ها ممکن است بتوان گفت که گرچه درواقع اين الکترون‌هاي درحالِ حرکت هستند که در نوار حامل جريان در ميدان مغناطيسي به‌سمت يکي از دو لبه‌ي نوار کشيده مي‌شوند اما ساختمانِ کريستاليِ نوار و سيمِ فرعي به‌گونه‌اي است که هنگامي‌که براي ادامه‌ي جريان، الکتروني اتمِ خويش را درست در لبه‌ي نوار در نقطه‌ي اتصالِ سيم فرعي ترک مي‌کند تا در نوار جاري شود جاي خاليِ آن چندان الکترون‌خواهي دارد که قبل از اين‌که الکترونِ درحالِ حرکت بعدي در نوار به اين جايِ خالي برسد الکترون‌هاي ظرفيتيِ فراوانِ سيمِ فرعي به‌وسيله‌ي اين حفره جذب مي‌شوند. بدين‌ترتيب جرياني الکتريکي در جهتي برخلافِ آنچه مورد انتظار است در سيمِ عرضي خواهيم داشت. اما چنين توجيهي نيز بسيار ضعيف است زيرا کاملاً روشن است که الکترون‌هاي بعدي در نوار که براثرِ وجود جريان در نوار درحالِ حرکت به‌سمت اين جاي خالي مي‌باشند نسبت به الکترون‌هاي ظرفيتي سيمِ فرعي به اين جاي خالي بسيار نزديکترند. و اصولاً مطمئناً الکترون‌هاي بعدي در نوار، که خود درحال حرکت به‌سمتِ جاي خالي هستند، بسيار بيش از الکترون‌هاي ظرفيتيِ ساکنِ سيمِ فرعي درگيرِ الکترون‌خواهيِ شديدِ جاي خالي خواهند بود. درنتيجه کاملاً واضح است که مثلاً دليلي وجود نخواهد داشت که درصورتي‌که سيمِ عرضي از همان جنسِ نوار باشد چنين جريانِ غيرقابلِ انتظاري در اين سيم ظاهر شود، درحالي‌که درعمل چنين نيست.
اين مقاله برآن است که مشکلِ توجيهِ اثرِ هال را به‌روشي ساده و منطقي حل کند.

توجيه
 

سيمي حاملِ جريان را که به‌طورِ ايده‌آل مقاومت ندارد درنظر گيريد. دو نقطه از اين سيم را به‌وسيله‌ي يک سيمِ مشابهِ ديگر به‌هم وصل کنيد. جريان الکتريکي چگونه بين اين دو سيم تقسيم مي‌شود؟ براي پاسخ‌گويي به اين پرسش به شکل 1 توجه کنيد. دو نقطه‌ي فوق‌الذکر نقاطِ a و b در اين شکل مي‌باشند. فرض کنيد دو سيمِ اتصال‌دهنده‌ي اين دو نقطه داراي مقاومتِ ويژه‌ي يکسان، ρ، و بزرگيِ سطحِ مقطع يکسان، A، باشند و طول سيمِ 1 برابر با l1 و طول سيم 2 برابر با l2 باشد. در يک تحليل الکتريکيِ ساده (که مي‌تواند توسط خواننده انجام شود)، که در آن از مقاومت‌هاي معادل استفاده مي‌شود، مي‌توان به‌سادگي نشان داد که به‌شرطي که مقاومت ويژه‌ي الکتريکيِ تمامِ سيم‌ها برابر با صفر درنظر گرفته شود براي نسبتِ جريانِ عبوري از سيمِ 2، I2، به جريان عبوري از سيمِ 1، I1، همواره داريم I2/I1=l1/l2. بدين‌ترتيب اگر نقطه‌ي b حلقه‌اي از سيمِ 2 باشد که مي‌تواند بر طولِ سيمِ 1 بلغزد، با نزديک کردنِ نقطه‌ي b به نقطه‌ي a جريان در سيمِ 2 (با طولِ ثابتِ l2) به‌سمتِ صفر ميل خواهد کرد و با دور کردنِ نقطه‌ي b از نقطه‌ي a جريان در سيمِ 2 (با ميل کردن به نصفِ جريانِ ثابتِ عبوري از مدار) افزايش خواهد يافت.

اکنون فرض کنيد به‌جاي سيمِ 1 و امتداد آن، نواري از همان جنس سيم 2 داريم. به‌علاوه، فرض کنيد که نقطه‌ي a بر يک لبه‌ي اين نوار و نقطه‌ي b بر لبه‌ي ديگرِ نوار واقع باشد؛ شکل 2 را ببينيد. طبيعي است دراين حالت نيز مکانيسمِ مشابهي براي تقسيمِ جريان مورد انتظار است، يعني با فرضِ اين‌که فلِشِ نشان داده شده در شکل نشان‌دهنده‌ي جهتِ جريانِ الکترون‌ها باشد انتظار داريم با نزديک کردنِ نقطه‌ي b، بر امتدادِ لبه‌اي که اين نقطه بر آن واقع است، به نقطه‌اي که درست مقابلِ نقطه‌ي a مي‌باشد جريان در سيم (عرضي) با ميل کردن به صفر کاهش يابد، و با دور کردنِ آن اين جريان افزايش يابد.
اين‌که جريانِ عبوري از سيم با دور کردنِ نقطه‌ي b از نقطه‌ي مقابلِ نقطه‌ي a بر همان لبه‌اي که b بر آن واقع است افزايش مي‌يابد مطمئناً حتي اگر ميداني مغناطيسي عمود بر سطح نوار اِعمال شود درست خواهد بود، زيرا گرچه در اين حالت جريانِ الکترون‌ها مثلاً به‌سمتِ لبه‌ي مربوط به نقطه‌ي a کشيده مي‌شود اما از آنجا که همچون پيش الکترون‌ها در همان جهتِ قبلي درحالِ حرکتند پس به‌هرحال بايد انتظار افزايشِ آن سهم از جريانِ جاري در سيم (عرضي) را داشت که ناشي از افزايشِ مقاومتِ قسمتِ واقع بين نقاط a و b از نوار براثرِ طولاني شدنِ اين قسمت مي‌باشد. ازاين‌رو، اگر جنس نوار به‌گونه‌اي باشد که وقتي نقطه‌ي b درست مقابل نقطه‌ي a باشد و ميدان مغناطيسيِ فوق‌الذکر اِعمال گردد به‌جايِ از a به b جرياني الکتروني از b به a داشته باشيم، مطمئناً چنين خواهد بود که با جا‌به‌جاييِ نقطه‌ي b درجهتِ جريانِ الکترون‌ها در نوار بر همان لبه‌ي مربوط به b، مشاهده خواهيم کرد که به‌تدريج جريان (موجود در سيم) الکترون‌ها از b به a کاهش يافته و در نقطه‌اي صفر مي‌شود و بعد از آن جريان الکترون‌ها از a به b ظاهر مي‌شود که با دوربردنِ بيشتر و بيشترِ نقطه‌ي b به‌تدريج افزايش مي‌يابد.
اما درحالي‌که وقتي b مقابل a است و ميداني مغناطيسي اِعمال نمي‌شود هيچ جرياني در سيم وجود ندارد، چرا اصولاً با اِعمالِ ميداني مغناطيسي عمود بر نوار، جريان در سيم عرضي وقتي b مقابل a است موجوديت پيدا خواهد کرد؟ و چرا جهتِ اين جريان، درحالي‌که جهت جريان در نوار ثابت نگاه‌داشته مي‌شود، مي‌تواند بسته به جنس نوار عوض شود؟ دليل، به‌سادگي، مي‌تواند اين باشد که با اِعمالِ يک ميدانِ مغناطيسي عمود بر سطح جريان باعث مي‌شويم که الکترون‌هاي متحرک (حاملِ جريان) به‌سمتِ يک لبه از نوار کشيده شوند و درواقع با اين عمل، انحرافي موضعي در مسيرِ جريان ايجاد مي‌کنيم، يعني با اِعمال ميدان مغناطيسي مسيرِ الکترون‌هاي درحال حرکت آن خواهد بود که در شکل 3(b) نمايانده شده است نه آن که در شکلِ 3(a) مي‌بينيم.

حال اجازه دهيد به‌طور ايده‌آل فرض کنيم که با اِعمال ميدان، رساناي حاملِ جريان، ديگر، آنچنان‌که در شکل 4(a) (که معادلِ همان نوار است) نشان داده شده است، مستقيم نخواهد بود بلکه سيم (اصلي) منحرف شده‌ي نشان داده شده در شکل 4(b) خواهد بود. بدين طرق نقاط a و b در شکلِ 4(b) همان نقاط a و b در شکل 2 مي‌باشند به‌شرطي‌که نقطه‌ي b درست مقابلِ نقطه‌ي a در اين شکل واقع شود و ميدانِ مغناطيسيِ عمود بر نوار در اين شکل درحالِ اِعمال باشد. با اتصال دو نقطه‌ي a و b در شکل 4(b) به‌وسيله‌ي يک سيم (فرعي) ديگر، انتظار داريم برطبقِ استدلالِ مربوط به شکلِ 1 الکترون‌ها از b به a در اين سيمِ فرعي جاري شوند. اين به اين معناست که بايد به‌طور مشابه انتظار داشت که وقتي b در شکل 2 مقابل a واقع است و ميدان مغناطيسيِ عمود درحالِ اِعمال است، الکترون‌ها در سيم فرعي در شکل 2 از b به a و نه از a به b جاري شوند (يعني درست همان پديده‌اي که براي ما معمول به‌نظر مي‌رسد و براي برخي مواد مثل Fe و Al اتفاق مي‌افتد).
اما چرا در بسياري موارد شاهد جريان الکترون‌ها از a به b به‌جايِ از b به a در سيم فرعي در شکل 4(b) هستيم؟ زيرا وقتي‌که الکترون‌هاي يورش‌بَرَنده از b به a در شکل 4(b) (که با يک فِلِش در اين شکل نشان داده شده‌اند) به نقطه‌ي a مي‌رسند، با زاويه‌ي قائمه‌اي برخورد مي‌کنند که آنها را مجبور مي‌کند بپيچند و حرکتشان را به‌سمت بالا ادامه دهند، درنتيجه به‌علتِ برخوردِ مستقيمِ آنها با نقطه‌ي a آنها درواقع بر اين نقطه ضربه وارد مي‌آورند. وقتي اين نقاطِ a و b توسطِ سيمِ فرعيِ ديگري به‌هم وصل شوند، اين ضربه‌ها يا درواقع اين اِعمالِ نيروهاي الکترونيکي، درصورتي‌که به‌اندازه‌ي کافي قوي باشند، مي‌توانند باعث جريانِ الکترون‌ها از a به b در سيم فرعي شوند گرچه همچنان‌که گفتيم در حالت معمول اين جريان بايد از b به a در سيمِ فرعي باشد. (حصولِ چنين وضعيتي مستقيماً به مقاومت‌هاي الکتريکيِ موادِ نوار حامل جريان و سيم فرعي بستگي دارد.) اما اگر اين ضربه‌ها (بسته به مقاومت‌هاي مدار) به‌اندازه‌ي کافي قوي نباشند، چنين وضعيتي رخ نخواهد داد و جهتِ جريانِ الکترون‌ها در سيم فرعي همچون قبل از b به a خواهد بود.
مکانيسم فوق‌الذکر در مورد اصابت ضربه‌ها و اِعمالِ نيروهاي الکترونيکي ممکن است ابتدايي به‌نظر رسد اما هرگز بي‌اعتبار نمي‌باشد. درحقيقت چنين مکانيسمي تقريباً هماني است که براي توجيه رايج اثر هال ارائه مي‌شود و بيان مي‌کند که جريان الکتروني به‌سمتِ يک لبه کشيده مي‌شود و به‌علت تجمع الکترون‌ها دراين لبه اختلاف پتانسيلي ايجاد مي‌گردد که باعث جاري شدنِ جريان در سيم فرعيِ اتصال دهنده‌ي دو لبه‌ي نوار مي‌شود.
مکانيسم مطرح شده در اين مقاله را مي‌توان به‌‌يک طريق آزمايشيِ پيشنهادي تست کرد: اگر واقعاً الکترون‌هاي يورش‌برنده از b به a در سيم اصلي در شکل 4(b) بتوانند بر الکترون‌هاي نقطه‌ي a اِعمال نيرو نمايند و باعثِ جاري شدنِ جزئيِ الکترون‌ها از a به b در سيم فرعي در برخي موارد شوند، مي‌توانيم انتظار داشته باشيم که آنها در مواردِ مشابه کارِ مشابه انجام دهند. فرض کنيد حلقه‌اي قائم‌الزاويه به‌صورتي‌که در شکل 5 نشان داده شده است از سيمي رسانا ساخته‌ايم به‌گونه‌اي که در نقطه‌ي رأس زاويه‌ي قائمه دو قسمتِ متقاطع سيم به‌يکديگر جوش خورده‌اند. روشن است که با فرضِ اين‌که فِلِش‌ها نشان‌دهنده‌ي جهتِ جريان الکترون‌ها باشد انتظار داريم همچنين جريانِ پادساعتگردي در حلقه از b به a داشته باشيم، زيرا در مسير جريانِ اصلي، b قبل از a واقع شده است و برطبق استدلالِ مربوط به شکلِ 1 انتظار داريم که قسمتي از جريان از b به a در حلقه جاري شود. اما هنگامي‌که جريانِ اصلي به‌اندازه‌ي کافي شديد هست و شرايط مربوطه، شاملِ مقاومت‌هاي مربوط به موادِ مدار، به‌نحو مناسب فراهم آمده است، ممکن است ضربه‌هاي ناشي از الکترون‌هاي شاخه‌ي سمت راست که درحال حرکت به‌سمت نقطه‌ي رأس مي‌باشند، و مستقيماً بر الکترون‌هاي سطح مقطع مدار (يا درواقع حلقه) در نقطه‌ي a اِعمال مي‌شوند، چنان قوي باشند که باعث جرياني ساعتگرد از الکترون‌ها در حلقه از a به b گردند که بر جريان پادساعتگرد معمول از b به a غلبه نمايد، و درنتيجه ما شاهد جرياني ساعتگرد در حلقه از a به b باشيم. اجراي چنين آزمايش دقيقي مي‌تواند اعتبار نظريه‌ي ارائه شده در اين مقاله را محک زند.