انسان اوليه نسبت به اعداد بيگانه بود و شمارش اشياء اطراف خود را به حسب غريزه يعني همانطور كه مثلاً مرغ خانگي تعداد جوجه هايش را مي داند انجام مي داد اما به زودي مجبور شد وسيله شمارش دقيق تري بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماري پديد آورد كه مبناي آن 60 بود. اين دستگاه شمار كه بسيار پيچيده مي باشد قديمي ترين دستگاه شماري است كه آثاري از آن در كهن ترين مدارك موجود يعني نوشته هاي سومري مشاهده مي شود. سومريها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از ميلاد مسيح است در جنوب بين النهرين يعني ناحيه بين دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از ميلاد با امپراطوري سامي عكاد متحد شدند و امپراطوري و تمدن آشوري را پديد آوردند.
سه قرن اول رياضيات يوناني که با تلاشهاي اوليه در هندسه برهاني بوسيله تالس در حدود 600 سال قبل از ميلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقليدس در حدود 300 سال قبل از ميلاد به اوج رسيد، دوره‌اي از دستاوردهاي خارق العاده را تشکيل مي‌دهد.
در حدود 1200 سال قبل از ميلاد بود که قبايل بدوي “دوريايي” با ترک دژهاي کوهستاني شمال براي دستيابي به قلمروهاي مساعدتر در امتداد جنوب راهي شبه جزيره يونان شدند و متعاقب آن قبيله بزرگ آنها يعني اسپارت را بنا کردند. بخش مهمي از سکنه قبلي براي حفظ جان خود ، به آسياي صغير و زاير يوناني و جزاير يوناني درياي اژه گريختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهاي تجاري يوناني را برپا کردند. در اين مهاجرنشينها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب يوناني نهاده شد و فلسفه يوناني شکوفا شد و هندسه برهاني تولد يافت. در اين ضمن ايران بدل به امپراطوري بزگ نظامي شده بود و به پيروزي از يک برنامه توسعه طلبانه در سال 546 (ق.م) شهر يونيا و مهاجرنشينهاي يوناني آسياي صغير را تسخير نمود. در نتيجه عده‌اي از فيلسوفان يوناني مانند فيثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشينهاي در حال رونق جنوب ايتاليا کوچ کردند. مدارس فلسفه و رياضيات در “کروتونا” زير نظر فيثاغورث در “اليا” زير نظر کسنوفانس ، زنون و پارميندس پديد آمدند.
در حدود480 سال قبل از ميلاد آرامش پنجاه ساله براي آتنيها پيش آمد که دوره درخشاني براي آنان بود و رياضيدانان زيادي به آتن جذب شدند. در سال 431 (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزي” بين آتنيهاي و آسپارتها ، صلح به پايان رسيد و با شکست آتنيها دوباره رکورد حاصل شد.

ظهور افلاطون و نقش وي در توليد دانش رياضي

اگرچه با پايان جنگ پلوپرنزي مبادله قدرت سياسي کم اهميت تر شد، اما رهبري فرهنگي خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن يا حوالي آن و در سال 427 (ق.م) که در همان سال نيز طاعون بزرگي شيوع يافت و يک چهارم جمعيت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنيا آمد، وي فلسفه را در آنجا زير نظر سقراط خواند و سپس در پي کسب حکم عازم سير و سفرهاي طولاني شد. وي بدين ترتيب رياضيات را زير نظر تيودوروس در ساحل آفريقا تحصيل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال 387 (ق.م) آکادمي معروف خود را تاسيس کرد.
تقريبا تمام کارهاي مهم رياضي قرن چهارم (ق.م) بوسيله دوستان يا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمي افلاطون به عنوان حلقه ارتباط رياضيات فيثاغورثيان اوليه و رياضيات اسکندريه در آمد. تاثير افلاطون بر رياضيات ، معلول هيچ يک از کشفيات رياضي وي نبود، بلکه به خاطر اين اعتقاد شورانگيز وي بود که مطالعه رياضيات عاليترين زمينه را براي تعليم ذهن فراهم مي‌آورد و از اينرو در پرورش فيلسوفان و کساني که مي‌بايست دولت آرماني را اداره کنند، نقش اساسي داشت. اين اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمي وي توجيه مي‌کند: “کسي که هندسه نمي‌داند، داخل نشود.” بنابراين به دليل رکن منطقي و نحوه برخورد ذهني نابي که تصور مي‌کرد مطالعه رياضيات در شخص ايجاد مي‌کند، رياضيات به نظر افلاطون از بيشترين اهميت برخوردار بود، و به همين جهت بود که جاي پر ارزش را در برنامه درس آکادمي اشغال مي‌کرد. در بيان افلاطون اولين توضيحات درباره فلسفه رياضي موجود هست.

ادامه دهندگان مسير افلاطون

* ايودوکسوس که هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌اي در سينويکوس در آسياي صغير تاسيس کرد.
* منايخموس از معاشرين افلاطون و يکي از شاگردان ايودوکسوس ، مقاطع مخروطي را ابداع کرد.
* دينوستراتوس ، برادر منايخموس، هندسه داني ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
* تياتيتوس ، مردي با استعدادهاي خيلي عادي که احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌هاي دهم و يازدهم اقليدس را نيز به او مديونيم، يکي از شاگردان تيودوروس بود.
* ارسطو گرچه ادعاي رياضيداني نداشت ولي سازمان دهنده منطقي قياسي و نويسنده آثاري در باب موضوعات فيزيکي بود. وي تسلط خارق العاده‌اي بر روشهاي رياضي داشت.

مسيرهاي تکامل رياضيات در يونان

در تکامل رياضيات طي 300 سال اول ، سه خط سير مهم و متمايز را مي‌توان تشخيص داد.
* ابتدا ، بسط مطالبي است که در اصول مدون شد، که با توانايي توسط فيثاغورثيان شروع شد و بعدها بقرط ، ايودوروس ، تياتيتوس ، ديگران مطالبي به آن اضافه کردند.
* خط سير دوم شامل بسط مفاهيمي است در رابطه با بينهايت کوچکها و روندهاي حدي و مجموع يابي که تا بعد از اختراع حساب ديفرانسيل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهايي دست نيافتند. پارادوکسهاي زنون؛ روش افناي آنتيخوان و ايودوکسوس و نظر اتمي بودن جهان که به نام دموکريتوس مربوط است، به مسير رشد دوم تعلق دارند.
* سومين مسير تکاملي مربوط به هندسه عالي يا هندسه منحنيهايي بجز دايره و خط مستقيم و سطوحي غير از کره و صفحه است. شگفت آنکه قسمت عمده اين هندسه عالي در تلاشهاي مستمر براي حل سه مساله ترسيم که امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعيف مکعب ، تثليث زاويه و تربيع دايره اختصاص دارد.
نخستين دانشمند معروف يوناني طالس ملطلي (639- 548 ق. م.) است كه در پيدايش علوم نقش مهمي به عهده داشت و مي توان وي را موجد علوم فيزيك، نجوم و هندسه دانست. در اوايل قرن ششم ق. م. فيثاغورث (572-500 ق. م.) از اهالي ساموس يونان كم كم رياضيات را بر پايه و اساسي قرار داد و به ايجاد مكتب فلسفي خويش همت گماشت. پس از فيثاغورث بايد از زنون فيلسوف و رياضيدان يوناني كه در 490 ق. م. در ايليا متولد شده است نام ببريم. در اوايل نيمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالي كيوس قضاياي متفرق آن زمان را گردآوري كرد و در حقيقت همين قضايا است كه مباني هندسه جديد ما را تشكيل مي دهند.
در قرن چهارم قبل از ميلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبي ايجاد كرد كه نه قرن بعد از او نيز همچنان برپا ماند. اين فيلسوف بزرگ به تكميل منطق كه ركن اساسي رياضيات است همت گماشت و چندي بعد منجم و رياضي دان معاصر وي ادوكس با ايجاد تئوري نسبتها نشان داد كه كميات اندازه نگرفتني كه تا آن زمان در مسير علوم رياضي گودالي حفر كرده بود هيچ چيز غيرعادي ندارد و مي توان مانند ساير اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد.
در قرن دوم ق. م. نام تنها رياضي داني كه بيش از همه تجلي داشت ابرخس يا هيپارك بود. اين رياضيدان و منجم بزرگ گامهاي بلند و استادانه اي در علم نجوم برداشت و مثلثات را نيز اختراع كرد. بطلميوس كه به احتمال قوي با امپراطوران بطالسه هيچگونه ارتباطي ندارد در تعقيب افكار هيپارك بسيار كوشيد. در سال 622 م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگي تمدن اسلام بود.
در زمان مأمون خليفه عباسي تمدن اسلام به حد اعتلاي خود رسيد به طوري كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن يازدهم زبان عربي زبان علمي بين المللي شد. از رياضيدانان بزرگ اسلامي اين دوره يكي خوارزمي مي باشد كه در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت.
ديگر ابوالوفا (998-938) است كه جداول مثلثاتي ذيقيمتي پديد آورد و بالاخره محمد بن هيثم (1039-965) معروف به الحسن را بايد نام برد كه صاحب تأليفات بسياري در رياضيات و نجوم است. قرون وسطي از قرن پنجم تا قرن دوازدهم يكي از دردناكترين ادوار تاريخي اروپاست. عامه مردم در منتهاي فلاكت و بدبختي به سر مي بردند. برجسته ترين نامهايي كه در اين دوره ملاحظه مي نماييم در مرحله اول لئونارد بوناكسي (1220-1170) رياضيدان ايتاليايي است. ديگر نيكلاارسم فرانسوي مي باشد كه بايد او را پيش قدم هندسه تحليلي دانست.
در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ايتاليايي و شاگردان آلماني آنها در حساب عددي جبر و مكانيك ترقيات شايان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصي به نام فرانسوا ويت (1603-1540م) به پيشرفت علوم رياضي خدمات ارزنده‌اي نمود. وي يكي از واضعين بزرگ علم جبر و مقابله جديد و در عين حال هندسه دان قابلي بود.
? كوپرنيك (1543-1473) منجم بزرگ لهستاني در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسماني منظومه شمسي را اين چنين ارائه داد:
1) مركز منظومه شمسي خورشيد است نه زمين.
2) در حاليكه ماه به گرد زمين مي چرخد سيارات ديگر همراه با خود زمين به گرد خورشيد مي چرخند.
3) زمين در هر 24 ساعت يكبار حول محور خود مي چرخد، نه كره ستاره هاي ثابت.
پس از مرگ كوپرنيك مردي به نام تيكوبراهه در كشور دانمارك متولد شد. وي نشان داد كه حركت سيارات كاملاً با نمايش و تصوير دايره هاي هم مركز وفق نمي دهد. تجزيه و تحليل نتايج نظريه تيكوبراهه به يوهان كپلر كه در سال آخر زندگي براهه دستيار وي بود محول گشت. پس از سالها كار وي به نخستين كشف مهم خود رسيد و چنين يافت كه سيارات در حركت خود به گرد خورشيد يك مدار كاملاً دايره شكل را نمي پيمايند بلكه همه آنها بر روي مدار بيضي شكل حركت مي كنند كه خورشيد نيز در يكي از دو كانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاريخ رياضيات قرني عجيب و معجزه آساست.
از فعالترين دانشمندان اين قرن كشيشي پاريسي به نام مارن مرسن كه مي توان وي را گرانبها ترين قاصد علمي جهان دانست. در سال 1609 گاليله رياضيات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ايتاليا تدريس مي كرد. وي يكي از واضعين مكتب تجربي است. وي قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعريف كرد. در همان اوقات كه گاليله نخستين دوربين نجومي خود را به سوي آسمان متوجه كرد در 31 مارس 1596 در تورن فرانسه رنه دكارت به دنيا آمد. نام رياضيدان بزرگ سوئيسي «پوب گولدن» را نيز بايد با نهايت افتخار ذكر كرد.
شهرت وي بواسطه قضاياي مربوط به اجسام دوار است كه نام او را دارا مي باشد و در كتابي به نام مركزثقل ذكر شده. ديگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پي ير دوفرما رياضيدان بزرگ فرانسوي است كه يكي از برجسته ترين آثار او تئوري اعداد است كه وي كاملاً بوجود آورنده آن مي باشد. رياضيدان بزرگ ديگري كه در اين قرن به خوبي درخشيد ژيرارد زارك فرانسوي است كه بيشتر به واسطه كارهاي درخشانش در هنر معماري شهرت يافت و بالاخره رياضي دان ديگر فرانسوي يعني روبروال كه بواسطه ترازوي مشهوري كه نام او را همراه دارد همه جا معروف است.
در اواسط قرن هفدهم كم كم مقدمات اوليه آناليز عناصر بي نهايت كوچك در تاريكي و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صداي آن به گوش مردم رسيد. بدون شك پاسكال همراه با دكارت و فرما يكي از سه رياضيدان بزرگ نيمه اول قرن هفدهم بود و نيز مي توان ارزش او را در علم فيزيك برابر گاليله دانست.
در نيمه دوم قرن هفدهم رياضي بطور دقيق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذير اين دوره يعني نيوتن انگليسي، لايب نيتس آلماني و هويگنس هلندي جهان علم را روشن كرده بودند. لايب نيتس در سال 1684 با انتشار مقاله اي درباره حساب عناصر بي نهايت كوچك انقلابي برپا كرد. هوگنس نيز در تكميل ديناميك و مكانيك استدلالي با نيوتن همكاري كرد و عمليات مختلف آنها باعث شد كه ارزش واقعي حساب انتگرال در توسعه علوم دقيقه روشن شود.
در قرن هجدهم ديگر تمام طوفانهاي قرن هفدهم فرو نشست و تحولات اين قرن عجيب به يك دوره آرامش مبدل گرديد. دالامبر فرانسوي آناليز رياضي را در مكانيك به كار برد و از روشهاي آن استفاده كرد. كلرو رقيب او در 18 سالگي كتابي به نام تفحصات درباره منحني هاي دو انحنايي انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله اي تهيه و به آكادمي علوم تقديم نمود كه شامل مطالب قابل توجهي مخصوصاً در مورد مكانيك آسماني و هندسه بي نهايت كوچكها بود. ديگر لئونارد اويلر رياضيدان بزرگ سوئيسي است كه در 15 آوريل 1707 م. در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783 م. در روسيه درگذشت.
لاگرانژ از جمله بزرگترين رياضيدانان تمام ادوار تاريخ بشر است. مكانيك تحليلي او كه در سال 1788 . عموميت يافت بزرگترين شاهكار وي به شمار مي رود. لاپلاس كه در تدريس رياضي دانشسراي عالي پاريس معاون لاگرانژ بود كتابي تحت عنوان مكانيك آسماني در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ اين نابغه دانشمند وقتي كه هنوز بيست سال نداشت شاخه جديد علم هندسه به نام هندسه ترسيمي را بوجود آورد.
ژان باتيست فوريه در مسأله انتشار حرارت روش بديع و جالبي اختراع كرد كه يكي از مهمترين مباحث آناليز رياضي گرديد. از ديگر دانشمندان بزرگ اين قرن سيمون دني پوآسون (1840-1781) فرانسوي و شاگرد لاپلاس مي باشد كه اكتشافات مهمي در رياضيات نمود گائوس رياضيدان شهير آلماني تئوري كامل مغناطيس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسيم نقشه ها و نمايش سطوح بر صفحات اصلي و اساسي مي باشد.
كوشي فرانسوي كه در سراسر نيمه اول قرن پانزدهم بر ديگر هموطنان برتري داشت با منطق دقيق خود تئوري هاي زيادي از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال 1824 ثابت نمود كه صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هيچ دستور جبري كه بتواند معادله درجه پنجم را به نتيجه برساند وجود ندارد. گالوا كه در 26 اكتبر 1811 م. در پاريس متولد شد تئوري گروهها را كه قبلاً بوسيله كوشي و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبري به كار برد و گروه جانشيني هر معادله را مشخص كرد.
ديگر از دانشمندان بزرگ اين قرن ژنرال پونسله فرانسوي مي باشد كه آثاري همچون «موارد استعمال آناليز در رياضي» و «خواص تصويري اشكال» دارد همچنين لازار كانو فرانسوي كه اكتشافات هندسي او داراي اهميت فوق العاده مي باشد. ميشل شال هندسه مطلق را با بالاترين درجه استادي به بالاترين حد ممكن ترقي داد. در نيمه اول قرن نوزدهم رياضيدان روسي نيكلاس ايوانويچ لوباچوشكي نخستين كشف خود را درباره هندسه غيراقليدسي به جامعه رياضيات و فيزيك قازان تقديم كرد.
ادوارد كومرنيز در نتيجه اختراع نوعي از اعداد به نام اعداد ايده آل جايزه رياضيات آكادمي علوم پاريس را از آن خود كرد. در اينجا ذكر نام دانشمنداني نظير شارل وايرشتراس و شارل هرميت كه در مورد توابع بيضوي كشفيات مهمي نمودند ضروري است. ژرژ كانتور رياضيدان آلماني مكه در روسيه تولد يافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضيه مجموعه ها اساس هندسه اقليدسي را در هم كوفت.
? كانتور مجموعه را به دو صورت زير تعريف كرد:
1) اجتماع اشيايي كه داراي صفت مميزه مشترك باشند هر يك از آن اشياء را عنصر مجموعه مي گويند.
2) اجتماع اشيايي مشخص و متمايز
ولي ابتكاري و تصوري هنري پوانكاره يا غول فكر رياضي آخرين دانشمند جهاني است كه به همه علوم واقف بود. وي در بيست و هفت سالگي بزرگترين اكتشاف خود يعني توابع فوشين را به دنياي دانش تقديم نمود. بعد از پوانكاره رياضيدان سوئدي متياگ لفلر كارهاي او را ادامه داد و سپس رياضيدان نامي فرانسوي اميل پيكارد در اين راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فيزيك رياضي به منتها درجه تكامل خود رسيد و دانش نجوم مكانيك آسماني تكميل گرديد. امروزه رياضيات بيش از پيش در حريم ساير علوم نفوذ كرده و نه فقط علوم نجوم و فيزيك و شيمي تحت انضباط آن درآمده اند بلكه اصولاً رياضيات دانش مطلق و روح علم شده است

تاريخچه مثلثات

تاريخ علم به آدمى يارى مى رساند تا «دانش» را از «شبه دانش» و «درست» را از «نادرست» تشخيص دهد و در بند خرافه و موهومات گرفتار نشود. در ميان تاريخ علم، تاريخ رياضيات و سرگذشت آن در بين اقوام مختلف ، مهجور واقع شده و به رغم اهميت زياد، از آن غافل مانده اند. در نظر داريم در اين فضاى اندك و در حد وسعمان برخى از حقايق تاريخى( به خصوص در مورد رشته رياضيات) را برايتان روشن و اهميت زياد رياضى و تاريخ آن را در زندگى روزمره بيان كنيم.
براى بسيارى از افراد پرسش هايى پيش مى آيد كه پاسخى براى آن ندارند: چه شده است كه محيط دايره يا زاويه را با درجه و دقيقه و ثانيه و بخش هاى شصت شصتى اندازه مى گيرند؟ چرا رياضيات با كميت هاى ثابت ادامه نيافت و به رياضيات با كميت هاى متغير روى آوردند؟ مفهوم تغيير مبناها در عدد نويسى و عدد شمارى از كجا و به چه مناسبت آغاز شد؟ يا چرا در سراسر جهان عدد نويسى در مبناى 10 را پذيرفته اند، با اينكه براى نمونه عدد نويسى در مبناى 12 مى تواند به ساده تر شدن محاسبه ها كمك كند؟ رياضيات از چه بحران هايى گذشته و چگونه راه خود را به جلو گشوده است؟ چرا جبر جانشين حساب شد، چه ضرورت هايى موجب پيدايش چندجمله اى هاى جبرى و معادله شد؟ و… براى يافتن پاسخ هاى اين سئوالات و هزاران سئوال مشابه ديگر در كليه رشته ها، تلاش مى كنيم راه را نشان دهيم، پيمودن آن با شماست…

پيدايش مثلثات

از نامگذارى «مثلثات» مى توان حدس زد كه اين شاخه از رياضيات دست كم در آغاز پيدايش خود به نحوى با «مثلث» و مسئله هاى مربوط به مثلث بستگى داشته است. در واقع پيدايش و پيشرفت مثلثات را بايد نتيجه اى از تلاش هاى رياضيدانان براى رفع دشوارى هاى مربوط به محاسبه هايى دانست كه در هندسه روبه روى دانشمندان بوده است. در ضمن دشوارى هاى هندسى، خود ناشى از مسئله هايى بوده است كه در اخترشناسى با آن روبه رو مى شده اند و بيشتر جنبه محاسبه اى داشته اند. در اخترشناسى اغلب به مسئله هايى بر مى خوريم كه براى حل آنها به مثلثات و دستورهاى آن نيازمنديم. ساده ترين اين مسئله ها، پيدا كردن يك كمان دايره (بر حسب درجه) است، وقتى كه شعاع دايره و طول وتر اين كمان معلوم باشد يا برعكس، پيدا كردن طول وترى كه طول شعاع دايره و اندازه كمان معلوم باشد. مى دانيد سينوس يك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همين تعريف ساده اساس رابطه بين كمان ها و وترها را در دايره تشكيل مى دهد و مثلثات هم از همين جا شروع شد. كهن ترين جدولى كه به ما رسيده است و در آن طول وترهاى برخى كمان ها داده شده است متعلق به هيپارك، اخترشناس سده دوم ميلادى است و شايد بتوان تنظيم اين جدول را نخستين گام در راه پيدايش مثلثات دانست. منه لائوس رياضيدان و بطلميوس اخترشناس (هر دو در سده دوم ميلادى) نيز در اين زمينه نوشته هايى از خود باقى گذاشته اند. ولى همه كارهاى رياضيدانان و اخترشناسان يونانى در درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفهوم هاى اصلى مثلثات نرسيدند. نخستين گام اصلى به وسيله آريابهاتا، رياضيدان هندى سده پنجم ميلادى برداشته شد كه در واقع تعريفى براى نيم وتر يك كمان _يعنى همان سينوس- داد. از اين به بعد به تقريب همه كارهاى مربوط به شكل گيرى مثلثات (چه در روى صفحه و چه در روى كره) به وسيله دانشمندان ايرانى انجام گرفت. خوارزمى نخستين جدول هاى سينوسى را تنظيم كرد و پس از او همه رياضيدانان ايرانى گام هايى در جهت تكميل اين جدول ها و گسترش مفهوم هاى مثلثاتى برداشتند. مروزى جدول سينوس ها را تقريبا 30 درجه به 30 درجه تنظيم كرد و براى نخستين بار به دليل نيازهاى اخترشناسى مفهوم تانژانت را تعريف كرد. جدى ترين تلاش ها به وسيله ابوريحان بيرونى و ابوالوفاى بوزجانى انجام گرفت كه توانستند پيچيده ترين دستورهاى مثلثاتى را پيدا كنند و جدول هاى سينوسى و تانژانتى را با دقت بيشترى تنظيم كنند. ابوالوفا با روش جالبى به يارى نابرابرى ها توانست مقدار سينوس كمان 30 دقيقه را پيدا كند و سرانجام خواجه نصيرالدين طوسى با جمع بندى كارهاى دانشمندان ايرانى پيش از خود نخستين كتاب مستقل مثلثات را نوشت. بعد از طوسى، جمشيد كاشانى رياضيدان ايرانى زمان تيموريان با استفاده از روش زيبايى كه براى حل معادله درجه سوم پيدا كرده بود، توانست راهى براى محاسبه سينوس كمان يك درجه با هر دقت دلخواه پيدا كند. پيشرفت بعدى دانش مثلثات از سده پانزدهم ميلادى و در اروپاى غربى انجام گرفت. يك نمونه از مواردى كه ايرانى بودن اين دانش را تا حدودى نشان مى دهد از اين قرار است: رياضيدانان ايرانى از واژه «جيب» (واژه عربى به معنى «گريبان») براى سينوس و از واژه «جيب تمام» براى كسينوس استفاده مى كردند. وقتى نوشته هاى رياضيدانان ايرانى به ويژه خوارزمى به زبان لاتين و زبان هاى اروپايى ترجمه شد، معناى واژه «جيب» را در زبان خود به جاى آن گذاشتند: سينوس. اين واژه در زبان فرانسوى همان معناى جيب عربى را دارد. نخستين ترجمه از نوشته هاى رياضيدانان ايرانى كه در آن صحبت از نسبت هاى مثلثاتى شده است، ترجمه اى بود كه در سده دوازدهم ميلادى به وسيله «گرادوس كره مونه سيس» ايتاليايى از عربى به لاتينى انجام گرفت و در آن واژه سينوس را به كار برد. اما درباره ريشه واژه «جيب» دو ديدگاه وجود دارد: «جيا» در زبان سانسكريت به معناى وتر و گاهى «نيم وتر» است. نخستين كتابى كه به وسيله فزازى (يك رياضيدان ايرانى) به دستور منصور خليفه عباسى به زبان عربى ترجمه شد، كتابى از نوشته هاى دانشمندان هندى درباره اخترشناسى بود. مترجم براى حرمت گذاشتن به نويسندگان كتاب، «جيا» را تغيير نمى دهد و تنها براى اينكه در عربى بى معنا نباشد، آن را به صورت «جيب» در مى آورد. ديدگاه دوم كه منطقى تر به نظر مى آيد اين است كه در ترجمه از واژه فارسى «جيپ»- بر وزن سيب- استفاده شد كه به معنى «تكه چوب عمود» يا «ديرك» است. نسخه نويسان بعدى كه فارسى را فراموش كرده بودند و معناى «جيپ» را نمى دانستند، آن را «جيب» خواندند كه در عربى معنايى داشته باشد.

تاريخچه احتمال و خوان اول

پيدايش رسمي احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدي براي محاسبه شانس در بازيهاي قمار بوده است. اگر چه ايده هاي احتمال شانس و تصادفي بودن از تاريخ باستان در رابطه با افسونگري و بخت آزمايي و بازيهاي شانسي و حتي در تقسيم کار بين راهبان در مراسم مذهبي وجود داشته است و به علاوه شواهدي از بکارگيري اين ايده ها در مسايل حقوق? بيمه? پزشکي و نجوم نيز يافت ميشود? اما بسيار عجيب است که حتي يونانيان اثري از خود در رابطه با استفاده از تقارني که در هندسه بکار مي برده اند در زمينه احتمال يا اصولي که حاکم بر مسايل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
ارسطو پيشامدها را به سه دسته تقسيم مي نمود:
1) پيشامدهاي قطعي که لزومآ اتفاق مي افتادند.
2) پيشامدهاي احتمالي که در بيشتر موارد اتفاق مي افتادند.
3) پيشامدهاي غير قابل پيش بيني و غير قابل شناسايي که فقط با شانس محض رخ ميدهند.
اما ارسطو به تعبيرهاي مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصي که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پيشامدهاست را معتبر مي دانسته است.
پاسکال و فرما اولي کساني هستند که در اوايل قرن هفدهم مسايل مربوط به بازيهاي شانسي را مورد مطالعه قرار دادند و اين دو نفر به عنوان بنيانگزاران تيوري رياضي احتمال لقب گرفته اند. دانشمنداني از قبيل هي گنز کارهاي آنها را ادامه داده و ويت و هلي اين مسايل را در آمارهاي اجتماعي بکار گرفتند. اين علم جديد نخستين نقطه اوج خود را در اثر مشهوري از ژاکوب برنولي بدست آورد. در اين اثر علاوه بر تعريف کلاسيک احتمال رياضي? اساس خاصي از قانون اعداد بزرگ و کاربردهاي احتمال در آمارهاي اجتماعي نيز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگي چون دي مور? دانيل برنولي? آلمبرت? اويلر? لاگرانژ? بيز? لاپلاس و گاوس قسمتي از وقت خود را به اين علم جديد اختصاص دادند. بيز در سال 1763 قانون معروف بيز را ارايه مي دهد و لاپلاس در نوشته اي تمام موضوع علم احتمال را جمع آوري مي کند. مهمترين قضاياي حدي که در محاسبات احتمالي بکار مي رفته و تاثير احتمال در رياضي? فيزيک? علوم طبيعي? آمار? فلسفه و جامعه شناسي در اين اثر جمع آوري شده است.
با مرگ لاپلاس در سال 1872 اوج پيشرفت اين علم به اتمام رسيد و علي رغم برخي تلاشهاي فردي که ماحصل آنها کشف قضايايي چون قضيه اعداد بزرگ پواسون و يا نظريه خطاهاي گاوس بود? بطور کلي احتمال کلاسيک ارتباط خود را با مسايل تجربي و علمي از دست ميدهد. اما جريانهاي متقابل ظاهر مي شوند. به موازات پيشرفت نظريه رياضي يک نظريه آمار به عنوان کاربردهايي از احتمال بوجود مي آيد. اين نظريه در رابطه با مسايل مهم اجتماعي از قبيل اداره داده هاي آماري? مطالعه جمعيت و مسايل بيمه بکار مي رفته است. اساس کار توسط افرادي چون کوتلت و لکسيز ريخته شده و توسط دانشمنداني چون فشنر(روانشناس)? تيله و برانز(منجمان)? گالتون و پيرسون(زيست شناسان) پيشرفت نموده است. اين کارها در اواخر قرن نوزدهم در جريان بوده و در انگلستان و برخي ديگر از کشورها حرفه حسابگري? به مفهوم آمارداني که از اقتصاد و رياضي هم اطلاعاتي دارد و در جمعيت شناسي و بيمه خبره مي شود? رونق مي يابد. از طرف ديگر فرمولهاي کلاسيک ايده هاي احتمال ميز مسير پيشرفت و کاربردي خود را ادامه ميدادند. در اين قرن در تلاش براي روشن سازي پايه منطقي کاربردهاي احتمال? وان ميزز يک فرمولبندي جديد براي محاسبات احتمالي ارايه ميدهد که نه تنها از نظر منطقي سازگار بوده بلکه نظريه رياضي و تجربي پديده هاي آماري در علوم فيزيکي و اجتماعي را پايه گذاري مي نمايد.
مدل کلاسيک احتمال توسط برنولي و لاپلاس معرفي شد. اين مدل به دليل فرض همطرازي و عدم امکان تکرار در شرايط يکسان و دلايل ديگر با اشکالاتي روبروست که بسياري از پديده هاي طبيعي بر آن منطبق نيست.
ايده هاي اساسي نظريه تجربي احتمال که قرار دادن فراواني نسبي بجاي احتمال است در سال 1873 توسط پواسون ارايه گرديد.
بسياري از مسايل احتمال حتي قبل از بيان اصول آن توسط کلموگرف در سال ?1933 با ابزارهاي تجربي و حتي نظري توسط دانشمندان مطرح شده است. ولي کلموگرف با بيان اصول احتمال پايه اين علم و ارتباط دقيق آنرا با مباحث رياضي مستحکم مي نمايد.
در اين زمان احتمال به عنوان يکي از شاخه هاي رياضي? نه تنها کليه ابزارهاي رياضي را جهت پيشرفت خود بکار مي گيرد? بلکه توانسته کاربردهايي را در حل برخي از مسايل رياضي داشته باشد. نظريه احتمالي اعداد? نظريه احتمالي ترکيبياتي و کاربردهاي شاخص احتمال در برخي از مسايل آناليز? بعضي از کاربردهاي احتمال در رياضي هستند.
از طرف ديگر احتمال به عنوان زيربناي ساختاري و اصول رياضي علم آمار? در جهت پيشرفت اين علم و قوام بخشي به دستورات آن نقشي اساسي دارد.
مسايل جالب احتمال هندسي و نظريه احتمالي اعداد? شمه اي از زيبايي هاي احتمال است که همه اينها با هم زيبايي? کارآيي و توان علم احتمال را نشان مي دهند.
خوان اول از کنفرانس ابرساختارهاي جبري: ابرساختارها چيزي نيستند جز تعميم ايده هاي کلاسيک به سطحي بالاتر. به عنوان مثال تعريف عملگر از مجموعه اي به پاورست آن مجموعه (پاورست همان مجموعه تمام زير مجموعه هاي يک مجموعه است.

تاريخ هندسه نااقليدسي

نيكلاي ايوانوويچ لوباچفسكي نخستين كسي بود كه در سال 1829 مقاله اي در زمينه هندسه نااقليدسي منتشر ساخت. هنگامي كه اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بيشتر به اين علت كه به زبان روسي نوشته شده بود و روس هايي كه آن را مي خواندند، سخت خرده گيري مي كردند. وي در سال 1840 مقاله اي به زبان آلماني منتشر كرد كه مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه اي به ه. ك. شوماخر از آن مقاله ستايش كرد و در عين حال تقدم خود را در اين زمينه تكرار كرد. لوباچفسكي هندسه اش را در آغاز «هندسه انگاري» و بعد «هندسه عام» نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هايي كه منتشر كرد به طور كامل بسط داد
لوباچفسكي علنا با تعليمات و اصول عقايد كانت درباره فضا، به مثابه شهود ذهني، به مبارزه برخاست و در سال 1835 نوشت: «تلاش هاي بي ثمري كه از زمان اقليدس تاكنون صورت گرفته است... اين بدگماني را در من برانگيخت كه حقيقت... در داده ها وجود ندارد و براي اثبات آن مثل مورد قوانين ديگر طبيعت كمك هاي تجربي، مثلا مشاهدات نجومي نياز است.» اريك تمپل بل در كتاب «مردان رياضيات» لوباچفسكي را «آزادكننده بزرگ» و «كپرنيك دانش هندسه» نام داده است. بل مي گويد نام او بايد براي هر بچه مدرسه اي به اندازه نام هاي ميكل آنژ يا ناپلئون آشنا باشد. بدبختانه از لوباچفسكي در دوران حياتش تجليل نشد.
و در حقيقت در 1846 به رغم بيست سال خدمت برجسته اي كه با عنوان استاد و رئيس انجام داده بود، از دانشگاه قازان اخراج شد. او مجبور شد در سال پيش از مرگش، به علت نابينايي آخرين كتابش را تقرير كند تا برايش بنويسند.

هندسه هذلولي

تا وقتي كه مكاتبات گاوس، پس از مرگ او در 1855، منتشر نشده بود، جهان رياضي هندسه نااقليدسي را جدي نگرفته بود. هنوز هم تا سال 1888 لوئيس كارول به هندسه نااقليدسي مي خنديد برخي از بهترين رياضيدانان بلترامي، كيلي، كلاين، پوانكاره، كليفور و ريمان موضوع را جدي گرفتند، بسط دادند، روشن كردند و آن را در شاخه هاي ديگر رياضيات، به ويژه در نظريه توابع مختلط به كار بردند. در 1868 رياضيدان ايتاليايي «ائوجنيو بلترامي» براي آخرين بار مسئله اثبات اصل توازي را پيش كشيد و ثابت كرد كه اثبات آن غيرممكن است او اين كار را از اين راه كه هندسه نااقليدسي درست همچون هندسه اقليدسي، دستگاهي است سازگار، اثبات كرد.
در هندسه نااقليدسي، نقيض اصل توازي را به عنوان اصل موضوع مفروض مي گيريم. يعني اين گزاره را كه «از يك نقطه خارج از يك خط راست بيش از يك نقطه مي توان به موازات آن رسم كرد» به جاي اصل موضوع توازي اقليدس قرار مي دهيم. اين امر به هندسه حيرت انگيزي منجر مي شود كه با هندسه اقليدسي تفاوت اساسي دارد. به قول گاوس قضاياي اين هندسه به باطلنما مي مانند و شايد در نظر فردي مبتدي بي معني جلوه كنند. ولي تفكر پيگير و آرام آشكار مي سازد كه هيچ چيز ناممكن در آنها نيست، مثلا، سه زاويه مثلث تا بخواهيد مي توانند كوچك شوند به شرطي كه اضلاع آن به اندازه كافي بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هيچ گاه نمي تواند از حد معيني زيادتر شود و در واقع هيچ گاه هم نمي تواند به آن برسد.
گاوس در نامه تاريخي خود به دوست رياضيدانش «تاورينوس» مي گويد: «همه تلاش هاي من براي يافتن يك تناقض يا يك ناسازگاري در اين هندسه نااقليدسي به شكست انجاميده است. چيزي كه در آن با ادراك ما مغايرت دارد اين است كه اگر راست باشد، بايد در فضاي آن يك اندازه خطي وجود داشته باشد كه خود به خود معين است اگر چه ما آن را نمي دانيم... هرگاه اين هندسه نااقليدسي راست باشد و بتوان آن مقدار ثابت را با همان كمياتي كه به هنگام اندازه گيري هايمان بر روي زمين و در آسمان بدان ها برمي خوريم، مقايسه كنيم آن گاه ممكن است آن مقدار ثابت را پس از تجربه تعيين كرد. در نتيجه، من گاهي به شوخي آرزو كرده ام كه هندسه اقليدسي راست نبود، چون در آن صورت ما از پيش انگاره مطلقي براي اندازه گيري داشتيم.»
در هندسه هذلولي مي توان ثابت كرد كه اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت ديگر ملاك «ززز» براي قابليت انطباق درست است در اين هندسه، هندسه هذلولي ممكن نيست مثلثي را بدون انداختن از شكل طبيعي بزرگ يا كوچك كرد. در نتيجه در يك جهان هذلولي، عكاسي ذاتا جنبه فراواقعگرايي سوررئاليستي پيدا خواهد كرد يك نتيجه تكان دهنده قضيه مذكور اين است كه در هندسه هذلولي يك پاره خط مي تواند به كمك يك زاويه مشخص شود. يعني يك زاويه از يك مثلث متساوي الساقين، طول يك ضلع را به طور منحصر به فرد معين مي سازد. همان طور كه در نامه گاوس به تاورينوس نيز ذكر گرديد، اغلب با بيان اينكه هندسه هذلولي واحد مطلق طول دارد، اين نكته را هيجان انگيزتر مي كنند. اگر هندسه جهان مادي هندسه هذلولي بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداري شود.
در هندسه اقليدسي، تقسيم هر زاويه به سه قسمت برابر، به وسيله ستاره خط كش غيرمدرج و پرگار تنها، نشدني است.
در هندسه هذلولي، علاوه بر آنكه اين تقسيم نشدني است، تقسيم هر پاره خط به سه قسمت برابر نيز به وسيله ستاره و پرگار تنها، نشدني است در هندسه اقليدسي، رسم چهارضلعي منتظمي كه مساحت آن برابر مساحت دايره مفروضي باشد، شدني نيست ولي در هندسه هذلولي اين كار شدني است

تاريخچه ي انتگرال

بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي واحد اعشار را هم نمي دانست .
ليبنيز (1716-1646) و نيوتن (1727-1642) حسابان را كشف كردند . عقيده كليدي آنها اين بود كه مشتق گيري و انتگرال گيري اثر يكديگر را خنثي مي كنند با استفاده از اين ارتباط ها آنها توانستند تعدادي از مسائل مهم در رياضي ، فيزيك و نجوم را حل كنند.
فورير (1830-1768) در مورد رسانش گرما بوسيله سلسله زمان هاي مثلثاتي را مي خواند تا نقش هاي بنيادي را نشان دهد .رشته هاي فورير و جابجايي انتگرال امروزه در زمينه هاي مختلفي چون داروسازي و موزيك اجرا مي شود .
گائوس (1855-1777) اولين جدول انتگرال را نوشت و همراه ديگران سعي در عملي كردن انتگرال در رياضي و علوم فيزيك كرد . كايوچي (1857-1789) انتگرال را در يك دامنه همبستگي تعريف كرد . ريمان (1866-1826) و ليبيزگو (1941-1875) انتگرال معين را بر اساس يافته هاي مستدل و منطقي استوار كردند .
ليوويل (1882-1809) يك اسكلت محكم براي انتگرال گيري بوجود آورد بوسيله فهميدن اينكه چه زماني انتگرال نامعين از نقش هاي اساسي دوباره در مرحله جديد خود نقش اساسي مرحله بعد هستند . هرميت (1901-1822) يك شيوه علمي براي انتگرال گيري به صورت عقلي و فكري ( يك روش علمي براي انتگرال گيري سريع ) در دهه 1940 بعد از ميلاد استراسكي اين روش را همراه لگاريتم توسعه بخشيد .
در دهه بيستم ميلادي قبل از بوجود آمدن كامپيوترها رياضيدانان تئوري انتگرال گيري و عملي كردن آن روي جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پيشرفت هايي حاصل شده بود .در ميان اين رياضيدانان كساني چون واتسون ، تيچمارش ، بارنر ، ملين ، ميچر ، گرانبر ، هوفريتر ، اردلي ، لوئين ، ليوك ، مگنوس ، آپل بلت ، ابرتينگر ، گرادشتاين ، اكستون ، سريواستاوا ، پرودنيكف ، برايچيكف و ماريچيف حضور داشتند .
در سال 1969 رايسيچ پيشرفت بزرگي در زمينه روش علمي گرفتن انتگرال نامعين حاصل كرد . او كارش را بر پايه تئوري عمومي و تجربي انتگرال گيري با قوانين بنيادي منتشر كرد روش او عملاً در همه گروه هاي قضيه بنيادي كارگر نيست تا زماني كه در وجود آن يك معادله سخت مشتق گيري هست كه نياز دارد تا حل شود . تمام تلاش ها ااز آن پس بر روي حل اين معادله با روش علمي براي موفقيت هاي مختلف قضيه اساسي گذاشته شد . ايت تلاش ها باعث پيشرفت كامل سير و روش علمي رايسيچ شد . در دهه 1980 پيشرفت هايي نيز براي توسعه روش او در موارد خاص از قضيه هاي مخصوص و اصلي او شد .
از قابليت تعريف انتگرال معين به نتايجي دست ميابيم كه نشان دهنده قدرتي است كه در رياضيات مي باشد (1988) جامعيت و بزرگي به ما ديدگاه موثر و قوي در مورد گسترش در رياضيات و همچنين كارهاي انجام شده در قوانين انتگرال مي دهد . گذشته از اين رياضيات توانايي دارد تا به تعداد زيادي از نتيجه هاي مجموعه هاي مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اينكه بفهميم اين اشتباهات ناشي از غلط هاي چاپي بوده است يا نه ) . رياضيات اين را ممكن مي سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماييم به طوريكه تا كنون در هيچ يك از كتابهاي دستنويس قبلي نيامده باشد . در آينده ديگر وظيفه ضروري انتگرال اين است كه به ازمايش تقارب خطوط ، ارزش اصلي آن و مكانيسم فرض ها بپردازد .

تاريخچه فصيل حسابداري

حسابداري در جهان نزديک به 6000 سال قدمت دارد و تاريخ نخستين مدارک کشف شده حسابداري به 3600 سال قبل از ميلاد برمي گردد. پيشينه حسابداري در ايران نيز به نخستين تمدنهايي بر مي گردد که دراين سرزمين پا گرفت، و مدارک حسابداري بدست آمده با 25 قرن قدمت، گواه بر پيشرفت اين دانش در ايران باستان اس. در طول تاريخ، روشهاي حسابداري متوع و متعددي براي اداره امور حکومتي و انجام دادن فعاليتهاي اقتصادي ابداع شد، که در پاسخ به نيازهاي زمان، سير تحولي و تکاملي داشته است. مميزي املاک در تمدن ساساني(در جريان اصلاحات انوشيروان، به منظور تشخيص مالياتهاي ارضي، کليه زمينهاي مزروعي کشور مميزي و مشخصات آن از جمله مساحت، نوع زمين و نوع محصول در دفتري ثبت مي گرديد.) و تکامل حسابداري براي نگهداري حساب درآمد و مخارج حکومتي در دوران سلجوقيان(نگارش اعداد را به صورت علايمي کوتاه شده از نام اعداد عربي، حساب سياق مي نامند.
حسابداري سياق که احتمالا در دوران سلجوقيان تکامل يافته، روشي است که بر اساس آن، حساب جمع و خرج هر ولايت در دفتر مربوط به ان ولايت ثبت و در عين حال يک دفتر اصلي در مرکز نگهداري مي شده است که خلاصه جکع و خرج هر ولايت به طور جداگانه در صفحات مربوط، در آن به خط سياق نوشته مي شده است. اين روش در دوران قاجاريه تکميل شد و کتب خمسه(دفاتر پنج گانه) براي گروههاي عمده مخارج نيز نگهداري مي شده است.
و نگهداري حساب فعاليتهاي بازرگاني به حساب سياق، نمونه هاي بارز و پيشرفته آن است.
با اين حال حسابداري نوين( دوطرفه) همانند بسياري از دانشهاي کاربردي ديگر، به همراه ورود فراورده هاي صنعتي و رسوخ موسسات و شرکتهاي خارجي به ايران راه يافت. و در جريان تحولات اقتصادي _اجتماعي صد سال گذشته با پيدايش سازمانهاي جديد دولتي و خصوصي و دگرگوني شيوه هاي توليد و توزيع بسيار پيشرفت کرد.
حساداري با تمدن همزاد است و به اندازه تمدن بشري قدمت دارد. در تمدنهاي باستاني بين النهرين که قسمت اعظم ثروتهاي جامعه در اختيار فرمانروا يا فرمانروايان بود. معمولا کاهنان که قشر ممتازي را در سلسله مراتب اجتماعي تشکيل مي دادند و ظيفه نگارش را بطور اعم و نگهداري حساب درآمدها و ثروتهاي حکومت را بطور اخص به عهده يا در واقع در انحصار داشتند و در عين حال به ثبت برخي از معاملات شهروندان نيز مي پرداختند، از جمله در تمدن باستاني سومر (SUMMER) نظام مالي جامعي برقرار بود و کاهنان سومري علاوه بر نگهداري حساب درآمدهاي حکومتي، به نحوي موجودي غلات، تعداد دامها و ميزان املاک حکومتي را محاسبه مي کردند.
نخستين مدرک کشف شده حسابداري در جهان، لوحه هاي سفالين از تمدن سومر در بابل (Babylon) است و قدمت آن به 3600 سال قبل از ميلاد مي رسد و از پرداخت دستمزد تعدادي کارگر حکايت دارد.
مدارک و شواهد بدست آمده از تمدن باستاني مصر (525_5000 ق.م) حکايت از آن دارد که در اجراي طرحهاي ساختماني اين تمدن، نوعي کنترل حسابداري برقرار بوده که بهره گيري از نيروي کار هزاران هزار نفر را در امر ايجاد بنا و حمل و نقل مصالح ساختماني در تشکيلاتي منظم، ميسر مي کرده است، از تمدن مصر در دوراني که يونانيان و روميان بر آن تسلط داشتند نيز مجموعه هاي متعددي از حسابهاي نوشته شده بر پاپيروس باقي مانده است.
شواهد و مدارک به دست آمده از يونان باستان نيز حکايت از استقرار کنترلهاي حسابداري دارد. از جمله حساب معبد پارتنون در لوحه هاي مرمرين اکروپوليس حک و بخشي از ان هنوز هم باقي است.
سکه به عنوان واحد پول حدود 700 سال قبل از ميلاد در ليدي(Lydia) ابداع گرديد.(ليدي سرزميني باستاني است که در آسياي صغير، کنار درياي اژه بين ميزي (Mysia) و کاري(Caria) قرار داشت. کرزوس (Croesus) آخرين پادشاه آن از کوروش شکست خورد.) و به سرعت در تمدنهاي آن زمان رواج يافت. در ازان عصر هخامنشي ، نظام مالي و پولي (نظام پولي بديعي توسط داريوش اول بر پايه طلا و نقره با رابطه مبادله ثابت پايه گذاري شد و سکه داريک به وزن 8.41 گرم در مقابل 20 سکه نقره به نام “شکل” هر يک به وزن 5.6 گرم مبادله مي شده است و بنابراين رابطه تبديل طلا به نقره ( 3/1 13 ) ) جامع ومنسجمي بر قرار بوده و حساب درآمدها و مخارج حکومت به ريز و به دقت ثبت و ظبط و نگهداري مي شده است.
در رم و يونان باستان حسابداري پيشرفته اي وجود داشته و نوعي حساب جمع و خرج تنظيم مي شده است. يک جمعدار، يک مامور دولت و يا شخصي که محافضت پول يا دارايي ديگري به او محول بوده است در مقاطعي از زمان حساب خود را به اربابش پس مي داده است. براي اين کار رو فهرست تفصيلي از دريافتها و پرداختها بر حسب پول، وزن يا مقياس ديگري تهيه مي شد که جمع آن دو مساوي بود. فهرست پرداخت شامل مبالغ پرداختي، کالاي فروخته شده و يا به مصرف رسيده در طول يک دوره بعلاوه مانده پول و کالايي بود که نزد جمعدار باقي مانده و بايد به ارباب تاديه مي شد. اين نوع حسابداري تا قرون وسطي ادامه يافت.
همانطور که ملاحظه فرموديد، حسابداري باستاني تنها جنبه هاي محدودي از فعاليتهاي مالي را در بر مي گرفت و يا سيستم جامعي که کليه عمليات مالي حکومت را ثبط و ظبط کند و يا به نگهداري حساب معاملات تجاري بپردازد، فاصله بسياري داشت.

سرمايه داري تجاري و رنسانس

از دوران باستان تا اواخر قرون وسطي تغييري اساسي در جهت تبديل حسابداري به يک سيستم جامع صورت نگرفت و تنها پيشرفت قابل ذکر گسترش دامنه نگهداري حساب براي عمليات گوناگون حکومتها و اشخاص بود.
از اوايل قرن سيزدهم “دولت_شهرها” و يا “شهر_جمهوريهاي” کوچکي خارج از سلطه پادشاهان و خوانين فيودال در ايتالياي کنوني پا گرفت که فضاي سياسي_ اقتصادي مناسبي را براي رشد سوداگري فراهم آورد.بدين معني که در اين جمهوريهاي کوچک هيچ مانعي در راه تجارت آزاد، حتي تجارت با سرزمينهاي دوردست وجود نداشت و استفاده از سرمايه به صورت سرمايه مولد يا سرمايه تجاري مانند کشتيها و ساير وسايل بازرگاني امکان پذير و متداول بود. علاوه بر اين، با رونق داد وستد، پول در مبادلات تجاري نقش گسترده يافت و اقتصاد پولي رواج يافت.
در قرون سيزدهم و چهاردهم همزمان با رشد بازرگاني، صنعت و بانکداري، پيشرفت زيادي در تکنيک نگهداري حساب بوجود آمد. بزرگتر شدن اندازه موسسات، رواج معاملات نسيه و استفاده از عوامل متعدد در کسب و کار موجب شد که ديگر يک شخص به تنهايي نتواند امر موسسه بزرگي را اداره کند و اين امر ابداع سيستم حسابداري کاملتري را ضروري ساخت.
گمان مي رود که کاربرد قاعده جمع وخرج در مورد حساب صندوق نخستين گام در راه پيدايش سيستم نوين بوده باشد.
بدين معني که صندوقدار در ازاي وجوهي که دريافت مي کرد بدهکار و در مقابل مبالغي که مي پرداخت بستانکار مي شد. اين قاعده در مورد حسابهاي مشتريان نيز بکار مي رفت و آنان در ازاي وجوهي که قرض مي گرفتند و يا کالايي که به نسيه مي خريدند بدهکار و در مقابل وجوهي که مي پرداختند بستانکار مي شدند و بدين ترتيب مانده حساب آنها معين مي شد. همين قاعده در مورد نگهداري حساب بستانکاران نيز بکار مي رفت. در نيمه قرن سيزدهم حسابداران ايتاليايي متوجه اين نکته شدند که دريافت پول از يک بدهکار دو ثبت را ضروري مي سازد. جنبه دريافت پول که بايد در حساب صندوق ثبت شود و جنبه پرداخت پول که بايد در حساب شخصي پرداخت کننده پول ثبت گردد. در اوايل قرن چهاردهم دو اصطلاح بدهکار و بستانکار ، يعني دو واژه ايتاليايي دادن(dare) و گرفتن(avere) کاملا متداول گرديد. پيشرفت تازه در قرن چهاردهم ابداع شکل دو طرفه حساب بود که در سمت چپ اقلام بدهکار و در سمت راست اقلام بستانکار، نوشته مي شد و با اين کار چگونگي ثبتها آشکار مي گرديد.
حسابداري جنسي با نگهداري حسابي جداگانه براي هر محموله از کالاي خريداري شده آغاز گرديد و هر حساب در ازاي خريد يک محموله کالا بدهکار و در مقابل حساب فروشنده يا حساب نقد بستانکار مي شد.
سپس با فروش هر مقدار از کالاي يک محموله، حساب مربوطه بستانکار و در مقابل حساب مشتري يا حساب نقد، بستانکار مي گرديد تا اين که تمامي اجناس يک محموله به فروش برسد. اين کار يعني بدهکار کردن حساب هر محموله از کالاي خريداري شده به قيمت خريد و بستانکار کردن آن به قيمت فروش معمولا تفاوتي را ايجاد مي کرد که به حساب سود و زيان نقل مي شد. بدين ترتيب سيستم دفترداري دوطرفه به آرامي و در پي مجموعه اي از ابداعات پياپي در فاصله سالهاي 1250-1350 ميلادي در چند جمهوري کوچک ايتاليا زاده شد و تکامل يافت و شهرهاي فلورانس، ونيز و جنوا پيشرو اين تحول بودند. برخي از صاحبنظران دفاتر حساب بجا مانده از سالهاي 1296 تا 1299 را نخستين دفاتر جساب دو طرفه کامل مي دانند. برخي دسگر حساب دو طرفه کاملا متوازني را که در سال 1340 ميلادي توسط پيشکار(steward) شهر جنوا(Genoa) تنظيم گرديده است. نحستين نمونه کامل دفاتر حساب دوطرفه ذکر مي کنند. در هر حال، در آستانه قرن پانزدهم ميلادي در ايتاليا و ديگر کشورهاي اروپايي، سيستم دفترداري دوطرفه بکار مي رفته است.
گسترش فن دفترداري دوطرفه به سراسر اروپا مرهون انتشار کتاب رياضياتي است که لوکا پاچيولي (Luca Pacioli) به سال 1494 تاليف کرده است. پاچيولي کشيشي بود که در دانشگاههاي جمهوريهاي پروجا، ناپل، پيزا و فلورانس رياضيات تدريس مي کرد و با انديشمندان بزرگ هم عصر خود از جمله پيرو دلا فرانسسکا (piro della francedca)، ليون باتيستا آلبرتي (Leon Battista Alberti) و ليونارده داوينچي (Leonardo da Vinci) دوستي نزديک داشت. مطالب کتاب رياضيات مزبور را پاچيولي نوشت و شکلهاي آن را داوينچي ترسيم کرد.
بخشي از اين کتاب شامل چند فصل به حسابداري اختصاص داشت که نخستين توصيف مدون از سيستم حسابداري دوطرفه است. در اين بخش از کتاب، پاچيولي با استفاده از منابع و روشهاي موجود سه دفتر اصلي حساب را به ترتيب زير تشريح مي کند:
دفتر باطله (Waste Book) (در ايران اين دفتر را دفتر کپيه يا مسدوده هم ناميده اند.)
که خلاصه معاملات تاجر به ترتيب تاريخ وقوع در آن ثبت مي شد.

دفتر روزنامه (Journal)

که در آن مطالب دفتر باطله تلخيص و بر حسب بدهکار و بستانکار ثبت مي گرديد.

دفتر کل (Ledger)

حاوي حسابهاي واقعي که ثبتهاي دفتر روزنامه به آن نقل مي گرديد.
پاچيولي لهميت کاربرد پول را بعنوان مقياس مشترک سنجش اقلام مختلف به درستي دريافته بود و بر لزوم تاريخ گذاري معملات و عطف متقابل دفاتر به يکديگر تاکيدي بجا داشت. با اين حال، وي درباره دوره مالي، تهيه تراز آزمايشي، تهيه صورت سود و زيان، بستن حساب سود و زيان به حساب سرمايه و تهيه ترازنامه مطلبي ندارد و تنها درباره طرز بستن و لزوم موازنه کردن حسابها به هنگام نقل حسابها از دفاتر قديمي به دفاتر جديد توضيحات نسبتا کاملي داده است. همچنين پاچيولي بين اموال شخصي تاجر و اموال تجارتخانه تمايزي نگذاشته و درباره نگهداري حساب داراييهاي ثابت نيز مطلبي ندارد.
رساله پاچيولي (که او را پدر حسابداري مي نامند) به علت سادگي، رواني و ارزشهاي عملي در طول قرنهاي پانزدهم و شانزدهم به اغلب زبانهاي اروپايي ترجمه شد و حسابداري دوطرفه تا اواخر قرن هفدهم در اغلب کشورهاي اروپايي رواج يافت.
از قرن شانزدهم تا اوايل قرن نوزدهم تحول بنيادي در حسابداري بوجود نيامد، تنها تغيير اساسي تيوري جديدي بود که توسط استوين (Simon Stevin) هلندي در اواخر قرن شانزدهم عنوان شد. بر اساس اين تيوري در هر معامله در مقابل هر بدهکار بايد يک بستانکار وجود داشته باشد. استوين همچنين ضرورت تفکيک اموال موسسه را از اموال شخصي صاحب سرمايه مطرح و لزوم نگهداري حسابي جداگانه براي سرمايه را نيز عنوان کرد. تغييرات ديگري که در اين فاصله در دفترداري رخ داد عبارت بود از ايجاد ستونهاي فرعي در دفاتر روزنامه و کل، منسوخ شدن دفتر باطله و جايگزيني اسناد و مدارک مربوط به معاملات (مانند فاکتور خريد و فروش) به جاي آن. حسابداري جنسي نيز در اين فاصله بهبود يافت و سود و زيان هر محموله محاسبه و به حساب سود و زيان نقل مي گرديد. تا سال 1800 ميلادي موازنه کردن حسابها در پايان سال، تهيه صورت سود و زيان و ترازنامه معمول شد اما جز براي نگهداري سوابق فعاليتهاي موسسه استفاده ديگري نداشت.
سيستم دفترداري دوطرفه که گوته (Goethe) انديشمند بزرگ آلماني آن را يکي از زيباترين ابداعات بشري مي داند، مجموعه منسجمي را فراهم آورد که کليه معاملات و رويدادهاي مالي ثبت، سود هر فعاليت تجاري تعيين و اموال شخصي تاجر از اموال تجارتخانه يا موسسه تجاري تفکيک گرديد.
ابداع و تکامل سيستم دفتر داري دوطرفه اولا سوداگريهاي بزرگ مانند فرستادن کشتيهاي عظيم حامل کالاهاي گوناگون به نقاط مختلف جهان را با مشارکت بازرگانان و افراد متعدد، تسهيل کرد، زيرا با کاربرد آن سرمايه گذاري هر يک از مشارکت کنندگان در يک فعاليت سوداگرانه که معمولا به صورت کالا و اجناس گوناگون بود به سهولت بر حسب پول (سکه) اندازه گيري و حساب ان جداگانه نگهداري مي شد و در خاتمه فعاليت نيز کالا و طلا و نقره اي که کسب شده بود، بر حسب پول قابل تقويم و محاسبه مي شد و در نتيجه تعيين سهم هر يک از مشارکت کنندگان از کل درآمد حاصل به سادگي امکان پذير مي گرديد.
ثانيا حسابداري دو طرفه، با فراهم ساختن امکان تفکيک اموال شخصي تاجر از اموال تجارتخانه، تشکيل شرکتهاي تجارتي را با مشارکت چند نفر عملي کرد، زيرا با کاربرد آن، نگهداري حساب جداگانه سهمالشرکه هر يک از شرکا در سرمايه شرکا امکان پذير و سهم آنان از کل دارايي شرکت و منافع حاصل از فعاليت تجاري قابل اندازه گيري و محاسبه شد. اين امکان، مشارکت صاحبان سرمايه اي را که خود به کار تجارت نمي پرداختند نيز عملي ساخت و بديت ترتيب رشد و توسعه بنگاهها و موسسات تجاري را تسريع کرد.
به رغم تحولات شگرف اقتصادي_ اجتماعي و دگرگوني و پيچيدگي و توسعه معاملات و سازمانهاي تجارتي از قرن شانزدهم تا عصر حاضر، عناصر اصلي سيستم دفترداري دوطرفه همچنان بدون تغيير باقي مانده است. دليل بقاي اين سيستم در طول پنج قرن در سادگي اصول، انعطاف پذيري و قابليت ان در ثبت، انتقال و گزارش اطلاعات بسيار متنوع، در قالب صورتهاي مالي قابل رسيدگي است.

انقلاب صنعتي

سسيتم ثبت دوطرفه که به اعتبار ابداع ان در ايتاليا، سيستم حسابداري ايتاليايي نيز ناميده مي شود به سرعت در سراسر اروپا رواج يافت و در طول قرن هجدهم تقريبا کليه موسسات مالي و تجاري بزرگ، اين شيوه حسابداري را بکار مي بردند. اما اروپاي قرن هجدهم آبستن تحولاتي شگرف بود. انقلاب صنعتي در نيمه دوم اين قرن آغاز و تا پايان نيمه اول قرن نوزدهم تداوم يافت و تحولات و تغييرات وسيع اقتصادي و اجتماعي را در پي داشت. اين تحول بنيادين بر تمامي عرصه هاي زندگي فرعي و اجتماعي مردم اروپا اثر گذاشت و مناسبات اقتصادي_ اجتماعي و سياسي جوامع اروپايي را دگرگون کرد و از طريق اين قاره به سراسر جهان راه يافت و آثار مفيد و زيانبار بسياري به جاي گذاشت.
بارزترين عرصه تحول در انقلاب صنعتي، قرار گرفتن ماشين در خدمت توليد بود که شيوه توليد را از توليد دستي به توليد کارخانه اي متحول کرد.
پيدايش و رشد کارخانه هاي بزرگ و کوچک با توانايي ساختن کالاهاي همسان به مقدار زياد، از يک سو به زوال صنايع دستي، روستايي و خانگي در مدت کوتاهي انجاميد و از سوي ديگر، رقابت بين کارخانه داران را ايجاد کرد.
حسابداري صنعتي ابتدا بيشتر به گزارش بهاي تمام شده محصولات بر مبناي اطلاعات مالي گذشته تاکيد داشت و در پيش بيني اينده از حدس وگمان فراتر نمي رفت.
اما بزرگتر شدن کارخانه ها و پيچيده تر شدن روشهاي توليد و در نتيجه افزايش توليدات، رقابت بين واحدهاي صنعتي را براي تسلط بر بازارهاي پيوسته ملي و همچنين رقابت در عرضه توليدات به بازارهاي جهاني تشديد کرد و اداره موسسات بزرگ پيچيده به پيدايش مفهوم مديريت علمي انجاميد. مديريت علمي، روش برخورد منظم و منطقي با مسايل به منظور يافتن بهترين راه براي انجام هر کار است.
وجود رقابت، نياز به آگاهي از بهاي تمام شده محصول را ايجاب نمود و در پاسخ به اين ضرورت نوعي دفترداري صنعتي يا دفترداري هزينه يابي که بعدها حسابداري صنعتي ناميده شد، ابداع گرديد.
علاوه بر اين، در گذر زمان تکنيکهاي گزارش اطلاعات مالي براي تصميم گيريهاي مديريت تکامل يافت و با ارايه و توضيح مدلهاي مقداري، امکان اتخاذ تصميمات درست بر اساس اطلاعات موجود، تسهيل گرديد. امروزه اين رشته از حسابداري به معناي اعم حسابداري مديريت ناميده مي شود.

بازار سرمايه و شرکتهاي سهامي

با بزرگتر شدن شرکتها نياز به توسعه و همچنين سرمايه بيشتر احساس شد. لذا با بهره گيري از دو دستاورد بزرگ و مفيد سرمايه داري صنعتي يعني سازماندهي و همکاري، موجبات رشد، توسعه و تکامل شرکتهاي سهامي فراهم و با سازمان يافتن بازار سرمايه، تامين مالي طرحهاي بزرگ صنعتي امکان پذير شد.
بازار سرمايه و شرکتهاي سهامي اين امکان را فراهم آورد که تعداد زيادي از صاحبان سرمايه، با سرمايه هاي کوچک و بزرگ در يک واحد اقتصادي مشارکت کنند و به اين ترتيب مشکلات تامين سرمايه هاي کلان براي ايجاد ساختمان، خريد ماشين آلات و احداف تاسيسات يک کارخانه بزرگ يا طرح بزرگ صنعتي برطرف گرديد.
در عين حال، محدوديت مسوليت صاحبان سهام به مقدار سرمايه اي که در شرکت گذاشته اند و قابليت انتقال سهام، به رونق سرمايه گذاري و گسترش بازارهاي سازمان يافته سرمايه انجاميد.
در ادامه فرايند رشد و توسعه شرکتهاي سهامي، هييت مديره شرکتهاي سهامي بزرگ، کار مديريت اجرايي را به مديران موظفي که براي اداره امور شرکت بر مي گزينند محول و خود به تعيين خط مشي هاي اجرايي شرکت و نظارت بر کار مديران مي پردازند. اين تحول، گروه تازه اي از مديران کارآزموده حرفه اي را پديد آورد که در سرمايه موسساتي که اداره مي کنند سهمي ناچيز دارند يا اصولا سهمي ندارند، بدين ترتيب غالبا مديريت موسسات از مالکيت آنها تفکيک و متمايز گرديد.
سازمان جديد سرمايه، نقش شرکتهاي سهامي و بورسهاي اوراق بهادار بعد تازه اي به حسابداري بخشيد و ان لزوم ارايه گزارشهاي مالي به سهامداران براي آگاه کردن آنان از چگونگي اداره سرمايه هايشان، ارزيابي عملکرد و سنجش کارايي مديران و گردانندگان شرکت و بالاخره آينده سرمايه گذاريشان بود.

حسابداري حرفه اي و حسابرسي

افزايش موارد استفاده و شمار استفاده کنندگان از اطلاعات مالي، وظيفه حسابداران را از رفع نيازهاي معدودي صاحب سرمايه به پاسخگويي به نيازهاي مراجع و گروههاي متعدد ذينفع و ذيعلاقه، ارتقا داد و به آن نقشي اجتماعي بخشيد.
وظيفه نوين حسابداري را حسابداران شاغل در موسسات نمي توانستند به تنهايي انجام دهند زيرا وجود رابطه استخدامي مستقيم آنان را به پذيرش نظرات مديران واحدهاي اقتصادي در تهيه صورتهاي مالي ناگزير مي کرد و از طرفي اشتغال آنان در موسسات، نوعي جانبداري طبيعي از آن موسسات را در پي داشت.
حال آنکه صورتهاي مالي بايد نيازهاي گروههاي مختلف استفاده کننده با علايق و منافع متفاوت و احتمالا متضاد را برطرف مي کرد.
براي آن که گروههاي مختلف استفاده کننده بتوانند به صورتهاي مالي تهيه شده توسط موسسات اعتماد بيشتري نمايند، حسابداران خبره اي انتخاب شدند و وظيفه يافتند که با رسيدگي به مدارک اسناد و حسابها هر گونه تقلب و سوء استفاده را کشف و نسبت به صورتهاي مالي بي طرفانه اضهار نظر کنند و اين کار حسابرسي ناميده شد.
حسابرسي به معناي عام يعني رسيدگي به حسابها از لحاظ کشف تقلب و سو استفاده سابقه طولاني دارد و در طول تاريخ هميشه نوعي حسابرسي در موسسات دولتي و خصوصي وجود داشته است، اما حسابرسي به معناي نوين يعني رسيدگي و اظهار نظر نسبت به صورتهاي مالي به دنبال رشد و پيدايش شرکتهاي سهامي که در ان مسوليت سهامداران محدود به مقدار سرمايه اي بود که در شرکت گذاشته بودند، بوجود آمد و زادگاه آن انگلستان است.
اما تغيير شگرفي که اکنون در جريان است، تحول حسابرسي از حسابرسي مالي به حسابرسي جامع است که در آن علاوه بر رسيدگي و گزارش نسبت به صورتهاي مالي واحد مورد رسيدگي، عمليات و معاملات آن از لحاظ رعايت سياستهاي مقرر شده توسط مراجع تصميم گيرنده ( مانند مجمع عمومي) و رعايت قوانين و مقررات حاکم بر فعاليت واحدهاي اقتصادي رسيدگي مي شود و کارايي مديريت واحد مورد رسيدگي از لحاظ چگونگي استفاده از منابع موجودد و نحوه اجراي برنامه و عمليات ونتايج حاصل از ان سنجيده و گزارش مي شود. اين گونه حسابرسي که جنبه اخير آن حسابرسي مديريت ناميده مي شود عمدتا در مورد شرکتهاي بزرگ که منابع کلان و حيطه فعاليت گسترده اي دارند و مديريت آن از مالکيت سرمايه جداست در پاسخ به ضرورت ارزيابي عملکرد مديريت اين گونه موسسات توسط متخصصين با صلاحيت (حسابداران و متخصيصيني از رشته هاي ديگر) اجرا مي شود و چشم انداز تکامل حسابداري حرفه اي است.

تکامل رياضيات کاربردي و سنت نظري

از زماني که در يونان باستان، عنصر « استدلال » وارد رياضيات شد، سنت ساختمان نظري – استدلالي دانش رياضي به وجود آمد؛ سنتي که در تمام تاريخ بعدي رياضيات دنبال شده است. البته از نظر تاريخي ، عقب نشيني از« ايده آل هاي » ساختمان نظري دانش رياضي هم ديده مي شود.
اين برگشت از نظريه و جهت گيري کاربردي را مي توان در رياضيات سده هاي ميانه (به ويژه در ايران ) ديد که بيش از هزار سال دوام داشت و زمينه را براي دوران جديد رياضيات نظري فراهم کرد. بعد از شعله هاي درخشان نظري در رياضيات باستان و دوران هلنيم؛ ديگر ممکن نبود روش خاص کاربردي نخستين، دوباره زنده شود .دانش رياضي سده هاي ميانه؛ برايندي از سنت نظري و سمت گيري کاربردي است . نتيجه اين «سنتز» مرحله اي بعدي رياضي کاربردي است. که نسبت به رياضيات مصر و ميان دو رود، در سطح بالاتري قرار دارد.
اين تصور که زماني گمان مي کردند، «وزن مخصوص» رياضيات نظري در طول تاريخ ،به طور دائم رو به افزايش بوده است،مدت هاست که ديگر وجود ندارد. اين تصور به اين دليل پيدا شده بود که به رياضي ايراني کم بها مي دادند.«…رياضيات عربي به هيچ وجه به معناي رياضيات عرب ها نيست، همان طور که نوشته هاي لاتيني فرماي فرانسوي توريچلي ايتالياي، نيوتن انگليسي، لايب نيتس آلماني و اولر که در آکادمي روسيه کار مي کرد را مي توان دانش لاتيني ناميد. درواقع، اصطلاح نادرست رياضيات عربي، به معناي موقعيت هاي دانشمندان ملت هاي گوناگون است… که چه در زمينه هاي رياضيات و چه در دانش هاي ديگر، در طول بيش از پانصد سال از سده نهم تا سده پانزدهم ميلادي، پيشتاز بوده اند. آن ها بيش تر از آسياي ميانه و نزديک و به ويژه از ايران (قفقاز، خوارزم، خراسان،…) برخاسته اند.به اصطلاح، رياضيات عربي را بايد بيشتر متعلق به ملت هاي آسياي ميانه و خراسان بزرگ دانست .»
((- آ.پ.يوسکدويچ، در کتاب : درباره رياضيات ملت هاي آسياي ميانه، در سده هاي نهم تا پانزدهم-))
حقيقت نشان مي دهد که بر خلاف تصور قبلي عده اي از تاريخ نويسان، رياضيات «عربي» تنها «حلقه ارتباطي » نبوده که رياضيات نظري يوناني را حفظ کرده است و بدون اين که چيزي به آن اضافه کند،اين ارثيه را به اروپاييان تحويل دهد. روشن شده است که رياضيات اروپاي سده هاي ميانه، از نظر ساختاري شبيه رياضيات کشورهاي شرق بوده ومجموعه آن ها، خيلي نيرومندتر از رياضيات يوناني به سمت رياضيات کاربردي گرايش داشته است .
به طور کلي مي توان درباره مرحله تازه اي از تکامل رياضيات صحبت کرد. در اين دوران مي توان مساله ها، موضوع ها و دانش هايي از رياضيات را ديد که آن را از دوران قبل از خود مشخص مي کند.
بايد گفت که بسياري از نوشته هاي فلسفي مربوط به رياضيات به آن دوره تکامل رياضيات که بسيار اساسي است و بي اندازه اهميت دارد، به اندازه کافي بها داه نشده و نيرو و پتانسيل روش شناختي که خاص رياضيات سده هاي ميانه است، بازتاب مناسب خود را پيدا نکرده است.
درضمن، مولفان به نقش عمده روش شناسي رياضيات تکيه مي کنند که نوشته آندره کولمر گمروف، با عنوان «رياضيات » (1954) درباره آن صحبت شده است. بنابر آن، رياضيات نظري يونان باستان و کشورهاي هنليستي (که آراسته به ساختمان اصل موضوعي بود) در رياضيات سده هاي ميانه (تا سال 30سده هفدهم ) به دوره رياضيات مقدماتي مربوط مي شوند. دررياضيات مقدماتي، رياضيات نظري و رياضيات کاربردي که دانش رياضي را به سمت منظم شدن هدايت مي کند، در هم ادغام شده اند و به عنوان حالتي واحد و يگانه مورد تفسير قرار مي گيرند که در آن جنبه نظري رياضيات برتري دارد . به دنبال دوره رياضيات مقدماتي، دوره رياضيات با کميت هاي متغير مي آيد (تا ميانه سده نوزدهم ) که ديگر به روشني خصلت نظري دارد.
داده هاي تازه ما را وا مي دارد به جريان تکامل رياضيات، به گونه ديگري بنگريم. به ويژه کارهاي ارشميدس و آپولونيوس ،به روشني از مرزهاي رياضيات مقدماتي فراتر رفته اند. در حالي که رياضيات سده هاي ميانه، بيش تر با رياضيات کاربردي دوران قبل از يونان خويشاوند است. ولي در کتاب هايي که درباره اي فلسفه و روش شناسي رياضيات نوشته شده اند، حقيقت هاي تازه مورد ارزيابي درست قرار گرفته اند و بازتاب کافي نيافته اند. اُ.اي. کدروسي در مقدمه کتاب خود به نام «مسأله هاي روش شناختي تکامل رياضيات » (1977)، يادآوري مي کند که دوره هاي تاريخي تکامل رياضيات را، بر اساس تقسيم بندي کولموگوروف درنظر گرفته است.
کم بها دادن به انديشه متفکران رياضي سده هاي ميانه در «مقاله هايي درباره تاريخ رياضيات »اثر نيکل بورباکي هم منعکس شده است و از يادگارهاي سده هاي ميانه تنها از12نوشته نام آورده شده است که در ضمن، هيچ کدام از آن ها «عربي» نيستند .
گرايش هاي امروزي در تکامل رياضيات را تنها وقتي مي توان فهميد که ازتقسيم نادرست تکامل رياضيات صرف نظر کنيم، تقسيمي که تنها جنبه هايي از آن را، با نفي ديگري در نظر مي گيرد ودور نماياند که پيشرفت رياضيات روي خط پيوسته اي از يونان باستان تا زمان حاضر حرکت کرده است. توجه اغراق آميز به مسير نظري رياضيات و کم توجهي به رياضيات کاربردي، به تحريف تصور ما از دانش رياضي منجر مي شود ودر تقسيم بندي مسائل فلسفي – روش شناختي بر مسائل مربوط به روش قياسي، ساختمان هاي ترکيبي و پايه هاي اصل موضوعي دانش رياضي منجر مي شود. نقطه اوج درکتاب هاي مربوط به مسأله هاي فلسفي رياضيات، به طور معمول در بررسي موقعيت هاي شکل گيري نظري رياضيات است: روش اصل موضوعي و تکامل آن، و از آن جمله پارادکس هاي ساختمان نظري رياضيات بر پايه مجموعه ها و عکس العمل فلسفي روش شناختي در برابر اين پارادکس ها، و بر اين اساس، درواقع ،نقش خاص عمل در تکامل رياضيات، به فراموشي سپرده مي شود.اين موقعيت در بيان نامه ي بورباکي، درباره شکل گرفتن دانش رياضيات نظري بازتاب يافته است: « اين که بين پديده هاي تجربي و ساختارهاي رياضي، بستگي نزديکي وجود دارد و اين که به صورتي نامنتظر با کشف هاي فيزيک معاصر تأييد مي شود، براي ما دليل هاي واقعي اين علت ها معلوم نيست و به احتمالي هرگز هم معلوم نخواهد شد» ((- بورباکي. – مقاله هايي درباره تاريخ رياضيات - )) و تا زماني که علت هاي پنهاني راکه دررياضيات کاربردي وجود دارد وموجب نيروي تاريخي ساختارهاي نظري دوره بعد شده است، از نظر دور داشته باشيم، نمي توانيم اين « ترديد » را از خود دور کنيم.
ارزيابي مسأله هاي اصلي فلسفي و روش شناختي دانش رياضي درسده هاي ميانه را، بايد در جاي ديگري به دست آورد. که عبارت است از واکنش نسبت به تکامل و تصحيح ميانه رياضيات اين دوران – مسأله اي که در برابر رياضيات امروزي هم قرار دارد. تأثير فعاليت هاي عملي بر جهت گيري تکامل رياضيات، به صورت هاي متفاوتي در دوره هاي مختلف نمايان مي شود.
سنتز سنت هاي نظري و سمت گيري کاربردي را در رياضيات سده هاي ميانه، مي توان در دو زمينه بررسي کرد. اگر از جنبه خاص به اين موضوع بنگريم، به هم آميختگي سنت نظري و جهت گيري کاربردي، به کمک تنظيم آ گاهي هاي رياضي با روش محاسبه اي و الگوريتمي تحقق مي يابد . هسته مرکزي اين شکل گيري تازه دانش و رياضي، الگوريتم محاسبه اي است که نسبت نظري (نسبت تنظيم آگاهي ها به کمک استدلال) را تثبيت مي کند و در عين حال، عمل هاي لازم را براي جهت گيري کاربردي رياضيات، به بهترين صورت خود در مي آورد.
براساس تصور يگانه اي که درباره رياضيات به عنوان يک دانش کاربردي وجود دارد، آگاهي هاي رياضي پيش مي رود و تکامل مي يابد. واين دليل عيني کلي تر روش شناختي است، کليتي که با آن دوره فعاليت آن گروه اجتماعي که رياضيات راحفظ و از آن استفاده مي کند، تحکيم مي شود در کارهاي روش شناختي درباره موضوع روش هاي رياضيات در اساس خود، نتيجه اي است از فعاليت هاي گروه هاي اجتماعي که در روند به وجود آوردن آگاهي ها دخالت دارند. سنتز سنت نظري «استدلال» و سمت گيري کاربردي دانش رياضي، به صورت بازتابي از «طبقه اجتماعي » در مي آيد. برعکس، آن برخورد روش شناختي درباره رياضيات، برخوردي که فعاليت گروه اجتماعي را به حساب مي آورد و امکان يکي شدن اثبات و محاسبه را فراهم مي آورد، به نوبه خود بر ساز و کار تکامل دانش، تأثير مي گذارد و حلقه هاي متفاوت آنرا بيش تر و محکم تر به هم نزديک مي کند. در نتيجه رياضيات سده هاي ميانه، همچون مجموعه کاملي که سمت گيري کاربردي دارد، مصرف مي شود. دانشي که به صورت واحد کاملي درک مي شود و تصور همگون و يکپارچه اي درباره موضوع رياضيات به ما مي دهد.

تاريخچه عدد صفر

يکي از معمول ترين سيوالهايي که مطرح مي شود اين است که: چه کسي صفر را کشف کرد؟ البته براي جواب دادن به اين سيوال بدنبال اين نيستيم که بگوييم شخص خاصي صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده مي کردند.
اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقي مي شود يکي از کاربردهاي عدد صفر اين است که به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) بکار مي رود. بنابراين در عددي مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع اين عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد بکار مي رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده مي کنيم.
هيچکدام از اين کاربردها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر بطور واقعي بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعي دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، … بکار مي برند و در اينگونه مسايل هيچگاه به مسيله اي برخورد نمي کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.
بابليها تا مدتها در جدول ارزش مکاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول بکار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي که آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده کردن گيومه (”) بود. مثلاً عدد6?21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت که از علايم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليکن هيچگاه اين علايم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدندبلکه هميشه بين دو عدد قرار مي گيرند بطور مثال عدد “216 را با اين نحوه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم که کاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلاً به عنوان يک عدد نبوده است.
البته يونانيان هم خود را از اولين کساني مي دانند کهدرجاي خالي ,صفر استفاده مي کردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است که رياضي دانان يوناني از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار مي دادند.
البتهبعضى ازرياضي دانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتي اشاره مي کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ کردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را بکار بردند و قبل از اينکه سرانجام عدد صفر جاي خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.
هنديان کساني بودند که پيشرفت چشمگيري در اعداد و جدول ارزش مکاني اعداد ايجاد کردند هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي کردند.
اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسي قرار مي دهيم اولين نکته اي که مي توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد بطور معمول نمي باشد. از زمانهاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي که از ويژگيهاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممکن شد. هنگاميکه فردي تلاش مي کند تا صفر و اعداد منفي را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشکل مواجه مي شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل مي کند. رياضي دانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سيوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .
اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکاي مرکزي زندگي مي کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي کردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را بکار مي برند.
بعدها نظريات رياضي دانان هندي علاوه بر غرب، به رياضي دانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيبوناچي، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.
يکي از معمول ترين سيوالهايي که مطرح مي شود اين است که: چه کسي صفر را کشف کرد؟ البته براي جواب دادن به اين سيوال بدنبال اين نيستيم که بگوييم شخص خاصي صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده مي کردند.
اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقي مي شود يکي از کاربردهاي عدد صفر اين است که به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) بکار مي رود. بنابراين در عددي مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع اين عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد بکار مي رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده مي کنيم.
هيچکدام از اين کاربردها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر بطور واقعي بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعي دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، … بکار مي برند و در اينگونه مسايل هيچگاه به مسيله اي برخورد نمي کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.
بابليها تا مدتها در جدول ارزش مکاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول بکار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي که آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده کردن گيومه (”) بود. مثلاً عدد6?21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت که از علايم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليکن هيچگاه اين علايم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدندبلکه هميشه بين دو عدد قرار مي گيرند بطور مثال عدد “216 را با اين نحوه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم که کاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلاً به عنوان يک عدد نبوده است.
البته يونانيان هم خود را از اولين کساني مي دانند کهدرجاي خالي ,صفر استفاده مي کردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است که رياضي دانان يوناني از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار مي دادند.
البته بعضى ازرياضي دانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتي اشاره مي کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ کردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را بکار بردند و قبل از اينکه سرانجام عدد صفر جاي خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.
هنديان کساني بودند که پيشرفت چشمگيري در اعداد و جدول ارزش مکاني اعداد ايجاد کردند هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي کردند.
اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسي قرار مي دهيم اولين نکته اي که مي توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد بطور معمول نمي باشد. از زمانهاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي که از ويژگيهاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممکن شد. هنگاميکه فردي تلاش مي کند تا صفر و اعداد منفي را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشکل مواجه مي شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل مي کند. رياضي دانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سيوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .
اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکاي مرکزي زندگي مي کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي کردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را بکار مي برند.
بعدها نظريات رياضي دانان هندي علاوه بر غرب، به رياضي دانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيبوناچي، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.

رياضيات محض و كاربردي

ماهيت كار
رياضي يكي از قديمي ترين و پايه اي ترين رشته هاي علوم است . رياضي دانان از نظريه هاي رياضي , روشهاي محاسبه , آلگوريتمها و آخرين دستاوردهاي رايانه اي براي حل مسائل اقتصادي , علمي , مهندسي , فيزيك و تجاري استفاده مي كنند.كار رياضي دانان به دو بخش گسترده تقسيم مي شود . رياضي محض و رياضي كار بردي . اين دو گروه كاملا از يكديگر قابل تمايز نبوده و اغلب بايكديگرهمپوشاني دارند. رياضي دانان محض(نظري) با گسترش مباني جديد و تشخيص روابط كشف نشده ميان قوانين موجود رياضي باعث گسترش دانش رياضي مي شوند . اگرچه آنان به دنبال گسترش دانش پايه بوده بي آنكه لزوما موارد كاربردي آنرا بررسي كنند ، چنين دانش مطلقي , نوعي راهبرد مفيد در ايجاد وپيشبرد بسياري از دستاوردهاي مهندسي و علمي بوده است.
بسياري از رياضيدانان محض به عنوان استاد در دانشگاه ها استخدام شده و زمان كاري خود را بين تدريس و امور تحقيقي تقسيم مي كنند.
از طرف ديگر، رياضي دانان كاربردي با بهره گيري از نظريات و روشهاي رياضي مانند روشهاي محاسبه و مدل سازي رياضي به فرمولبندي وحل مسائل عملي در امور تجاري , دولتي , مهندسي و درعلوم اجتماعي، فيزيك و امور مربوط به زندگي مي پردازند . به عنوان مثال , براي برنامه ريزي درخطوط هوايي ميان شهر ها , بررسي اثر وميزان ايمني داروهاي جديد , خصوصيات آيروديناميكي پيش مدل اتومبيل ها و مقرون به صرفه بودن روشهاي ديگر توليد به تجزيه و تحليل كار آمدترين راه مي پردازند.
امكان دارد رياضي دانان كاربردي كه دست اندر كار تحقيق و گسترش صنعتي هستند با حل مسائل مشكل باعث ايجاد يا تقويت روشهاي رياضي شوند .گروهي از رياضي دانان به نام رمزياب به تجزيه و تحليل و كشف سيستمهاي رمزي مي پردازند كه به صورت كد بوده واز طريق آنها اطلاعات نظامي , سياسي , مالي يا اجرايي و قانوني رد و بدل مي شود.
رياضي دانان كاربري با يك مساله كاربردي شروع كرده , اجزاي تفكيك شده عمليات مورد نظر را در فكر مجسم مي كنند و سپس اجزا را به متغير هاي رياضي تبديل مي كنند.
رياضي دانان غالبا با نمونه سازي توسط راه حلهاي فرعي ، بوسيله رايانه به تجزيه و تحليل روابط ميان متغيرها و حل مسائل پيچيده مي پردازند.
قسمت اعظم كار در رياضي كار بردي به وسيله افراد با عنواني غير از رياضي دان انجام مي شود . در حقيقت ، از آنجائيكه رياضي شالوده ايست كه بر اساس آن بسياري ازرشته هاي علمي بنا مي شود شمار افرادي كه از فنون رياضي بهره مي گيرند بيشتر از كسانيست كه رسما" به عنوان رياضي دان شناخته ميشوند .
به عنوان مثال , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه , فيزك دانان و اقتصاد دانان از جمله كساني هستند كه به شكل وسيعي از علم رياضي بهره مي جويند. گروهي از افراد متخصص مانند آماردانان , آمارگيران , تحليل گران محقق در عمليات , در حقيقت در شاخه خاصي از رياضي متخصص مي باشند . بسيار پيش ميايد كه رياضي دانان كاربردي براي دستيابي به راه حلهايي در مسائل گوناگون با افراد ديگر شاغل در سازمان همكاري كنند .
محيط كار رياضي دانان غالبا"در دفاتر راحت كار ميكنند .آنها اغلب جزئي از يك تيم متشكل از متخصصين علوم مختلف كه ممكن است شامل اقتصاددانان , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه اي , فيزيك دانان , تكنسين ها و ديگر افراد باشد .تحويل به موقع پروژه ها , اضافه كاري , تقاضاهاي خاص براي اطلاعات يا تجزيه و تحليل و مسافرتهاي طولاني به منظور شركت در سمينارها يا كنفرانسها جزئي از شغل آنان محسوب مي شود . رياضي داناني كه در دانشگاهها مشغول به كارند معمولا"در زمينه تدريس و تحقيق مسئوليتهايي بر عهده دارند. اين افراد اغلب يا به تنهايي امور تحقيقاتي را اداره مي كنند و يا ازهمياري دانشجويان فارغ التحصيل و علاقه مند به موضوعات تحقيقي بهره مند مي شوند.
فرصتهاي شغلي
بيشترين فرصتهاي شغلي در سرويسهاي تحقيقي و آز مايشي , آموزشي , امنيتي , سيستمهاي تبادل كالا ، مديريتي و روابط عمومي وجود دارد . دربين مراكز توليدي ، صنايع هوا فضا و دارويي اصليترين استخدام كننده ها ميباشند . گروهي از رياضي دانان نيزدر بانكها و يا شركتهاي بيمه مشغول به كارند.
آموزش و ادامه تحصيل بسياري از فرصتهاي شغلي كه در كارهاي پژوهشي براي رياضيدانان در نظر گرفته ميشود بصورت عضوي از يك تيم حرفه اي مي باشد . دانشمندان محقق در چنين مشاغلي يا در زمينه تحقيقات پايه و مباني نظري و يا در تحقيقات عملي براي ايجاد يا بهبود فرايند توليد مشغول به كار مي شوند . اكثر افرادي كه داراي مدرك ليسانس يا فوق ليسانس بوده و در صنايع خصوصي كار ميكنند , نه به عنوان رياضي دان بلكه بعنوان برنامه نويس رايانه , تحليل گر سيستم يا مهندس سيستم رايانه اي مشغول به كارند.
دوره هاي رياضي مورد نياز اين مدرك شامل حساب ديفرانسيل , معادلات تفاضلي و جبر خطي و انتزاعي مي باشد . دوره هاي اضافي ميتواند نظريه هاي احتمالات و آمار , آناليز رياضي , آناليز عددي , توپولوژي , رياضيات گسسته و منطق رياضي را در برگيرد .
بسياري از دانشگاه ها براي دانشجوياني كه در رشته رياضي تحقيق مي كنند , در زمينه رشته هاي مربوط به رياضي مانند علوم رايانه اي , مهندسي , فيزيك و اقتصاد دوره هايي بر گذار مي كنند . براي بسياري از كار فرمايان ,آگاهي همزمان در رياضي و علوم رايانه اي , اقتصاد يا ديگر علوم نوعي مزيت محسوب مي شود . يك محصل رياضي آينده نگر بايد تا جايي كه امكان دارد بسياري از دروس رياضي را در دبيرستان بياموزد
در مورد رياضيات كاربردي آموزش ديدن در زمينه هايي كه قرار است رياضي در آن به كار برده شود بسيار مهم است . رياضي به شكل وسيعي در علوم فيزيك ,آمار , مهندسي مورد استفاده قرار مي گيرد . علوم رايانه اي , تجاري , مديريت صنعتي , اقتصاد , امور مالي , شيمي , زمين شناسي , علوم روزمره و اجتماعي وابسته به رياضي كار بردي مي باشند . رياضي دانان بايد در زمينه برنامه نويسي رايانه اي از اطلاعات جامعي برخوردار باشند چرا كه اكثر محاسبات رياضي پيچيده و مدل سازي رياضي بوسيله رايانه انجام مي شود.
رياضي دانان نياز به قدرت استدلال خوب و مداومت براي تشخيص ، آناليز و به كار بردن مباني رياضي در مسائل فني دارند . مهارتهاي ارتباطي مهم مي باشد چرا كه رياضي دانان بايستي در زمينه راه حلهاي مطرح شده با افرادي وارد بحث شوند كه احتمالا" اطلاع كافي ازعلم رياضي ندارند.
چشم انداز كار
انتظار مي رود كه در آينده از ميزان استخدام افراد به عنوان رياضي دان كاسته شود چرا كه مشاغل اندكي با نام علم رياضي وجود خواهد داشت . هر چند دارندگان مدرك PHD و فوق ليسانس با اطلاعات جامعي در زمينه رياضي و علوم مربوطه مانند مهندسي يا علوم رايانه اي احتمالا از فرصتهاي شغلي مطلوب تري برخوردار خواهند بود . با اين حال , بيشتر اين افراد به جاي عنوان رياضي دان از عنوان كاري بر خوردار مي شوند كه نمايانگر شغل آنان مي باشد . پيشرفت تكنولوژي معمولا باعث گسترش كاربرد علم رياضي مي شود و در آينده به افرادي كه در اين رشته مهارت يابند نياز پيدا خواهيم كرد . با اين وجود افرادي كه در امور صنعتي يا دولتي مشغول به كار مي شوند علاوه بر علم رياضي در علوم مربوطه نيز به دانش پيشرفته اي نياز خواهند داشت رياضي دانان براي يافتن شغل بايد با افرادي رقابت كنند كه در علوم مربوط به رشته رياضي تخصص دارند . موفق ترين جويندگان كاركساني هستند كه مي توانند مباني رياضي را در مسائل واقعي زندگي بكار برده و از مهارتهاي ارتباطي ,گروهي و رايانه اي مطلوبي بهره مند هستند .
در صورت نياز سازمان آموزش و پرورش , اكثر دارندگان مدرك ليسانس مي توانند به عنوان دبير در مدارس مشغول بكار شوند.
رقابت كاري در ميان دارندگان مدرك فوق ليسانس و در امور تحقيقي و نظري بسيار با لاست . از آنجايي كه اكثر مشاغل دانشگاهي در اختيار دارندگان مدرك PHDاست , لذا بسياري از فارغ التحصيلان رشته رياضي , بدنبال استخدام در مشاغل دولتي يا صنعتي مي باشند.

منابع:

پرويز شهرياري
لوباچفسكي، هندسه نااقليدسي»، تاليف: و. كاگان، ترجمه پرويز شهرياري
هندسه هاي اقليدسي و نااقليدسي»، تاليف: ماروين جي. گرينبرگ، ترجمه محمدهادي شفيعيها
«هندسه لوباچفسكي» نوشته آ.س. اسموگورژفسكي، ترجمه احمد بيرشك
دايره المعارف بريتانيكا
مجله رشد برهان
سازمان آموزش و پرورش استان خراسان
-wikipedia , the free encydopedia
www.roshdmag.org
http://riazicenter.net
http://www.bedanid.com
www.knowclub.com
http://www.academist.ir