چنانچه گفتيم براي محاسبه احتمال وقوع يک يشامد نياز به محاسبه تعداد اعضاي آن و تعداد اعضاي فضاي نمونه داريم . اغلب او قات شمارش اعضاي يک مجموعه کار دشواري است و براي انجام اين کار نياز به شناسايي برخي اصول و قوانين داريم که به بررسي آنها مي پردازيم.
اصل ضرب فرض کنيد يک کار را بتوان با دو عمل پياپي A,B انجام داد اگر عمل A به m طريق و به دنبال آن عمل B بتواند به n طريق انجام پذيرد آنگاه اين کار به mn طريق انجام مي پذيرد.
مثال : با ارقام 0,1,2,3 چند عدد دو رقمي مي توان نوشت در صورتي که
الف) تکرار ارقام مجاز باشد.
ب) تکرار ارقام مجاز نباشد.
حل نوشتن يک عدد دو رقمي شامل دو عمل انتخاب رقم دهگان (A) و انتخاب رقم يکان (B) مي باشد. بنابراين
الف) رقم دهگان مي نواند يکي از ارقام 3,2,1 به سه طريق و رقم يکان يکي از ارقام 3,2,1,0 به چهار طريق باشد. بنابراين

ب) رقم دهگان مي تواند يکي از ارقام 3.2.1 به سه طريق و رقم يکان مي تواند رقم 0 يا يکي از دو رقم باقي مانده از ارقام 3,2,1 باشد. بنابراين

اصل جمع فرض کنيد يک کار را بتوان با دو عمل BياA انجام داد.اگر عمل A به m طريق و عمل B به nطريق انجام پذيرد و اين دو عمل نتوانند همزمان اتفاق بيفتند آن گاه اين کار به m + n طريق انجام مي پذيرد.
مثال به چند طريق مي نوان از بين 4 دانشجوي کامپيوتر و 5 دانشجوي رياضي دو دانشجو را انتخاب کرد به طوري که نفر اول به عنوان سرگروه و نفر دوم به عنوان دستيار باشد و هر دو نفر از يک رشته باشند.
حل طبق اصل ضرب دو دانشجو از رشته کامپيوتر به 4 * 3 = 12 طريق يا از رشته رياضي به 5 * 4= 20
طريق انتخاب مي شوند . بنابراين طبق اصل جمع اين دو نفر را مي توان به 20 + 12 = 32 طريق انتخاب کرد.

جايگشتها

در بعضي مسائل مي خواهيم تعداد طريق قرارگرفتن 6 نفر در بک صف ويا تعداد طريق انتخاب 2 تفر از بين 6 نفر را به دست آوريم براي اين منظور مي توان از اصول شمارش و مفهوم جايگشت استفاده کرد.
ترتيبي را که مي توان اشيا يک مجموعه را در کنار يکديگر قرار داد يک جايگشت گويند.

در حالت کلي داريم

اگر n عنصر متمايز را بخواهيم در يک صف کنار يکديگر قرار دهيم جايگشتهاي مختلف اين عناصر برابراست با
!n(n-1)(n-2)…(2)(1)=n
و اگر تکرار مجاز باشد جايگشتهاي اين عناصر برابراست با

مثال :
چهار پزشک و پنج مهندس مي خواهند در يک صف کنار يکديگر قرار گيرند
الف احتمال اينکه مهندس ها در يک صف و پزشک ها در صف ديگر قرار گيرند را بيابيد.
ب احتمال اينکه دو مهندس بخصوص کنار هم قرار گيرند را بيابيد.
حل :
در اين حالت!n(s)=9 يعني تعداد کل حالات قرار گرفتن اين 9 نفر در صف مي باشد.
الف ) اگر A پيشامد قرار گرفتن پزشک ها در يک صف و مهندس ها در طرف ديگ صف باشد چون شروع صف مي تواند با پزشک ها يا مهندس ها باشد پس 4! 5!! n(A)= 2 و در نتيجه

ب ) اگر B پيشامد قرار گرفتن پزشک ها و مهندس ها يک در ميان در صف باشد آن گاه مهندس ها به 5! طريق در صف قرار مي گيرند وپزشک ها به 4! طريق در بين مهندس ها قرار مي گيرند. پس (B)=5!4! P
و در نتيجه اگر از بين n عنصر متمايز بخواهيم r عنصر را انتخاب کرده و در يک صف قرار دهيم در اين صورت
الف – اگر تکرار عناصر مجاز نباشد آنگاه تعداد راه هاي ممکن برابراست با:
ب اگر تکرار عناصر مجاز باشد آنگاه تعداد راههاي ممکن برابراست با

اگر از بين n عنصر متمايز بخواهيم r عنصر را انتخاب کنبم به طوري که ترتيب انتخاب مهم نباشد در اين صورت
الف – اگر تکرار عناصر مجاز نباشد آنگاه تعداد راه هاي ممکن برابراست با

ب – اگر تكرار عناصر مجاز باشد آنگاه تعداد راه هاي ممکن برابراست با

مثال:
از بين 4 پزشک و 5 پرستار مي خواهيم يک کميته 4 نفري تشکيل دهيم .
احتمال اينکه اعضاي کميته شامل 2 پزشک و 2 پرستار باشد را بيابيد .
حل:
چون در انتخاب افراد ترتيب مهم نيست بنابراين تعداد انتخاب 4 نفر از اين 7 نفر برابراست با

انتخاب 2 پزشک به و انتخاب دو پرستار به طريق انجام مي شود بنابراين اگر A پيشامد انتخاب 2 پزشک و 2 پرستار باشد آنگاه

منبع:
http://learn-m-p-l.persianblog.ir
/الف