تئوري اعداد number theory شاخه اي از رياضيات محض pure mathematics است که در مورد خواص اعداد صحيح integers بحث مي کند و حاوي بسياري مسائل است که حتي غير رياضيدانان به راحتي آنها را متوجه مي شوند .به طور کلي ايـن شاخه ، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحيح را مطرح مي کند. تئوري اعداد را مي توان بنا به روشهاي بررسي سؤالات به چندين بخش تقسيم کرد.

تئوري مقدماتي اعداد

اعداد صحيح را بدون توجه به تکنيک هاي رياضي به کار رفته در ساير شاخه ها بررسي مي کند . مسائل بخش‌پذيري divisibility ، الگوريتم اقليدسي Euclidean algorithm ، محاسبه ي بزرگترين مقسوم اليه مشترک greatest common divisors ، تجزيه ي اعداد به اعداد اول prime numbers ، جستجوي عدد تام perfect number و همنهشتي ها congruences در اين رده هستند . نمونه ها قضيه ي کوچک فرما Fermat’s little theorem ، و قضيه ي اولر Euler’s theoremهستند و به طور عام قضيه ي باقيمانده ي چيني Chinese remainder theorem و قانون تقابل درجه ي دوم quadratic reciprocity هستند . خواص توابع ضربي multiplicative functions مانند تابع موبيوس Mobius function و تابع اولر Euler's ? function و همينطور دنباله ي اعداد صحيح integer sequences مانند فاکتوريل هاfactorials و اعداد فيبوناچي Fibonacci numbers در همين حوزه بررسي ميشوند . بسياري از سؤالات در تئوري مقدماتي اعداد شديداً عميق هستند و نياز به بازنگري هايي دارند . به عنوان نمونه :

انگاره‌ي گلدباخ Goldbach conjecture

که مي‌گويد آيا هر عدد زوجي حاصل‌جمع دو عدد اول است يا نه.
انگاره‌ي کاتالان Catalan’s conjecture که در مورد توانهاي متوالي اعداد صحيح است .
انگاره‌ي اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture که در مورد بينهايت بودن اعداد اول دوقلو است.
انگاره‌ي کولاتز Collatz conjecture که در مورد تکرار ساده مي‌باشد .
معادلات ديوفانتيDiophantine نيز هنوز تصميم ناپذير است.

تئوري تحليلي اعداد Analytic number theory

از حسابان calculus و آناليز مختلط complex analysis براي مطالعه‌ي اعداد صحيح استفاه مي کند و با سؤالاتي در مورد اعداد صحيح دست و پنجه نرم مي کند که در تئوري مقدماتي اعداد بررسي و بحث در مورد آن بسيار دشوار به نظر مي‌رسد . قضيه‌ي اعداد اول prime number theorem و فرضيه ريمان Riemann hypothesis مثال هايي از آن هستند . مساله ي وارينگ Warning’s problem ( که عدد صحيحي را به صورت جمع چند مربع يا مکعب چند عدد نشان مي دهد ) ،انگاره‌ي اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture(که تعداد بينهايت عدد اول با اختلاف 2 را پيدا مي کند ) ، و فرضيه ي گلدباخ Gold batch’s conjectureکه عددهاي زوج داده شده را به صورت مجموع دو عدد اول پيدا مي کند ) با روشهاي تحليلي مورد حمله قرار گرفته شده اند . اثبات متعالي بودن transcendence ثابت هاي رياضي ، مانند e و پي در بخش تئوري اعداد تحليلي قرار دارند . بعضي ها حکم هايي در مورد اعداد متعالي را از محدوده ي مطالعات اعداد صحيح خارج مي کنند ، در واقع مقادير ممکن براي چند جمله ايها با ضريب هاي صحيح مانند e و پي به مبحث تقريب ديوفانتين Diophantine approximation ارتباط نزديک دارند ؛ و سؤال آنها اين است که چگونه مي توان يک عدد حقيقي داده شده را با يک عدد گويا rational تقريب زد ؟

تئوري جبري اعداد

مفهوم عدد را به اعداد جبري algebraic numbers که همان ريشه هاي چند جمله ايها با ضرايب گويا rational coefficient هستند گسترش مي‌دهد.در اين حوزه مباحثي همانند اعداد صحيح به نام اعداد صحيح جبري algebraic integers وجود دارد . در اينجا لازم نيست به صورت هاي آشناي اعداد صحيح ، ( مانند تجزيه يکتا the unique factorization) پايبند باشيم .مزيت روش استفاده شده --تئوري گالوا Galois theory ، ميدان همانستگي field co homology، تئوري رده ي ميدان class field theory ، نمايش گروه ها group
representations و L-تابع‌ها L-functions اين است که به ما اجازه مي دهدبراي اين رده از اعداد ، اين ترتيب را تا حدودي بپوشانيم .تعدادي از سؤالات قضيه ي اعداد با مطالعه پيمانه p براي کليه اعداد اول p مورد حمله قرار گرفته شده اند . (به ميدانهاي متناهي finite fields مراحعه کنيد ) .به چنين چيزي localization مي گويند (که به ساختمان اعداد p اديک p-adic numbers مي انجامد . به اين محدوده تحليل موضعي local analysis مي گويند که از تئوري اعداد جبري ناشي مي شود .

تئوري ترکيباتي اعداد

به بررسي ، مطالعه و حل مساله‌هاي تئوري اعداد با استفاده از تکنيک‌هاي ترکيبياتي مي‌پردازد. پل اردوش کارهاي بزرگي در اين زمينه انجام داد. روش‌هاي جبري و تحليلي در اين شاخه از تئوري اعداد کاربرد فراوان دارند.

تئوري هندسي اعداد

همه ي فرم هاي هندسي را در بر مي گيرد ؛و از قضيه ي مينکوسکي Murkowski’s theorem در ارتباط با نقاط مشبکه lattice points در مجموعه هاي محدب convex sets و جستجو در بسته بندي کره ها sphere packing شروع مي شود .هندسه جبري بخصوص خم‌هاي بيضوي elliptic curves نيز به کار مي آيند .اين تکنيک‌ها در اثبات آخرين قضيه معروف فرما Fermat’s last theorem تاثير فراوان داشته اند .

تئوري محاسباتي اعداد computational number theory

به الگوريتم هاي تئوري اعداد مي پردازد والگوريتم هاي سريع براي امتحان اعداد اول prime testing و تجزيه اعداد صحيح integer factorization در مبحث کريپتوگرافي cryptography کاربرد هاي مهمي دارند .

تاريخچه تئوري اعداد

بعد از دوران يونان باستان ، تئوري اعداد در قرن شانزدهم و هفدهم با زحمات ويتViete ، باشه دو مزيرياک Bache de Meziriac ، و بخصوص فرما Fermat دوباره مورد توجه قرار گرفت . در قرن هجدهم اولر Euler و لاگرانژ Lagrange به قضيه پرداختند و در همين مواقع لژاندر Legendry و گاوس Gauss به آن تعبير علمي بخشيدند . در 1801 گاوس در مقاله ي Disquisitions Arithmetic حساب تئوري اعداد مدرن را پايه گذاري کرد .
چبيشف Chebyshev کران هايي براي تعداد اعداد اول بين يک بازه ارائه داد . ريمان Riemann اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از يک عدد داده شده تجاوز نمي کند. قضيه ي عدد اول( prime number theory. ) و آناليز مختلط complex analysis را در تئوري تابع زتاي ريمان Riemann zeta function گنجاند و فرمول صريح تئوري اعداد اول explicit formulae of prime number theory را از صفر هاي آن نتيجه گرفت . تئوري همنهشتي congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد . او علامت گذاري زير را پيشنهاد کرد :
mod(c)
چبيشف در سال 1847 به زبان روسي کاري را در اين زمينه منتشر کرد و سره Serrate آن را در فرانسه عمومي کرد . بجاي خلاصه کردن کارهاي قبلي ، لوژاندر قانون تقابل درجه ي دوم law of quadratic reciprocity را گذاشت . اين قانون از استقراء induction کشف شد و قبلاً اولر آن را مطرح کرده بود. لژاندر در تئوري اعداد Theories des Numbers براي حالت هاي خاص آن را ثابت کرد . جدا از کارهاي اولر و لوژاندر ، گاوس اين قانون را در سال 1795 کشف کرد و اولين کسي بود که يک اثبات کلي ارائه داد . کوشي Cauchy ؛ ديريکله Dirichlet ( که مقاله ي Vorlesungen über Zahlentheorie او يک مقاله ي کلاسيک است) ؛ ژاکوبي Jacobi که علامت ژاکوبي Jacobi symbol را معرفي کرد ؛ ليوويلLiouville ؛ زلرZeller ؛ آيزنشتين Eisenstein؛ کومرKummer و کرونکر Kronecker نيز در اين زمينه کارهايي کرده اند . اين تئوري تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل مي شود. نمايش اعداد با صورت درجه ي دوم دوتايي binary quadratic forms مديون گاوس است . کوشي ، پوانسو Poinsot ، لبگ Lebesgue و بخصوص هرميت Hermite به موضوع چيزهايي افزوده اند . آيزنشتاين Eisenstein در تئوري صورت هاي سه گانه پيشتاز است ، و تئوري فرمها theory of forms به طور کلي مديون او و اچ. اسميتH. J. S. Smith است. اسميت دسته بندي کاملي از صورتهاي سه گانه انجام داد و تحقيقات گاوس در مورد صورت هاي درجه ي دوم حقيقي به فرمهاي مختلط افزود . جستجوهايي در مورد نمايش اعداد به صورت جمع 4، 5 ،6 ، 7 ، 8 ، مربع توسط آيزنشتاين ادامه يافت و اسميت آن را کامل کرد .
ديريشله اولين کسي بود که در يک دانشگاه آلماني در اين مورد سخنراني کرد .او در مورد بسط قضيه اولرکه مي گويد:
که اولر و لوژاندر براي 04 3 = n آن را ثابت کردند و ديريشله نشان داد که z5 y5 x5 +. :
بين نويسندگان فرانسوي بورل Borel و پوانکاره Poincare ذهن قوي داشتند و تانريTannery و استيلجز Stieltjes . کرونکر ، کومر ، شرينگ Schering ، باخمن Bachmann و ددکيند Dedekind آلماني هاي پيشتاز هستند . در اتريش مقاله ي استلز Stolz’s vorlesungen uber allgemeine Arithmetik (1885-86 ) و در انگلستان تئوري اعداد ماتيوMathew ( قسمت اول ، 1892 ) جزو کارهاي عمومي دانشگاهي هستند . جنوچيGenocchi ، سيلوستر Sylvester ، و جي. گليشرJ.W.L. Glaisher به اين تئوري چيزهايي افزوده اند

منابع:

1-http://www.iranimitavanad.ir
2-http://daneshnameh.roshd.ir
3-http://www.academist.ir
4-http://bbmath.persianblog.com
5-http://riazicenter.net

/س