مقدمه

هندسه فضايي به بررسي موقعيت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک يا ساکن در فضا مي‌پردازد، فضا مختصاتي سه بعدي دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که اين ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضايي نمايش مي‌دهيم. مهمترين مبحث در هندسه فضايي مبحث بردارها مي‌باشند. بنابراين در هندسه فضايي به مؤلفه‌هاي برداري ، بردارهاي يکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهيم پرداخت.

مؤلفه‌هاي برداري و بردارهاي يکه i ، k , j

بعضي از کميات فيزيکي مانند طول و جرم اندازه پذير هستند و توسط اندازه‌شان کاملا معين مي‌شوند، اين کميات و کميات نظير آنها را کميات اسکالر مي‌گوئيم. اما کميات ديگري وجود دارند که علاوه بر اندازه بايد جهت آنها نيز مشخص باشد تا معين شوند اين کميات را کميات برداري گوئيم. يک بردار را معمولا با پاره خطي جهتدار نمايش مي‌دهند که جهتش نمايش جهت بردار بوده و طولش بر حسب يک واحد اختيار شده نمايش اندازه‌اش مي‌باشد. دو بردار را زماني مساوي مي‌ناميم که از لحاظ جهت و اندازه يکسان باشند.بهترين جبر بردارها مبتني بر نمايش آنها بر حسب مؤلفه‌هاي موازي محورهاي مختصات دکارتي است. اين کار با استفاده از واحد طول يکسان بر سه محور x ، z , y صورت مي گيرد و در اين راه از بردارهاي با طول يک در امتداد محورها به عنوان بردارهاي يکه استفاده مي‌شود که i را بردار يکه محور j ، x را بردار يکه محور y ها و k را بردار يکه محور z ها مي‌گوئيم.
مهمترين ويژگي بردارها در فضا مانند حالتي است که در صفحه قرار دارند طول و جهت آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از قضيه فيثاغورس به دست مي‌آيد. اما به صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدي است که از تقسيم مؤلفه‌هاي آن بر طولش به دست مي‌آيد.

بردار بين دو نقطه در فضا

بيشتر اوقات لازم است که بردار بين نقاط را بدست آوريم. هندسه فضايي اين مشکل را براي ما حل مي‌کند، به اين ترتيب که اگر دو نقطه را برحسب مختصات فضايي که دارند بيان کنيم بردار بين اين دو نقطه توسط رابطه زير حاصل خواهد شد:

فاصله در فضا

براي يافتن فاصله بين دو نقطه به مختصات گفته شده در مطلب بالا از مجموع توان دوم هر يک از مؤلفه‌هاي فوق راديکال با فرجه دوم مي‌گيريم بنابراين داريم:
حاصل عبارت فوق يک کميت اسکالر مي‌باشد.

وسط يک پاره خط در فضا

براي پيدا کردن وسط يک پاره خط که دو نقطه را به هم وصل مي‌کند متوسط و يا به عبارتي ميانگين مختصات را بدست مي‌آوريم.

کره و استوانه

علاوه بر مطالب فوق هندسه فضايي به مطالعه کره و استوانه نيز مي‌پردازد. معادله متعارف کره به شعاع a و مرکز به صورت زير است:
در مورد استوانه و مطالعه درباره استوانه ناچار به تعميم هندسه تحليلي به فضا هستيم. به طور کلي استوانه سطحي است که از حرکت خط مستقيم در امتداد يک منحني توليد مي‌شود به طوري که همواره موازي خط مي‌باشد. به طور کلي ، هر منحني مانند در صفحه استوانه‌اي در فضا تعريف مي‌کند که معادله آن به صورت فوق مي‌باشد و از نقاط خطوطي مار بر منحني تشکيل شده است که با محور z موازي‌اند. خطوط را گاهي عناصر استوانه مي‌نامند. بحث فوق را مي‌توان براي استوانه‌هايي که عناصرشان موازي ساير محورهاي مختصات‌اند تکرار کرد. به طور خلاصه: يک معادله در مختصات دکارتي ، که از آن يکي از مختصات متغير حذف شده، نمايش استوانه اي است که عناصرش موازي محور مربوط به متغير مفقود است. سهمي گونها يکي ديگر از اشکال مختصات فضايي هستند. بسياري از آنتنها به شکل قطعاتي از سهمي گونهاي دوارند، راديو تلسکوپها يکي ديگر از انواع سهمي گونهاي مورد استفاده بشر هستند که در ساخت آنها از هندسه فضايي مدد گرفته شده است.

منشور

منشور قائم شکلي فضايي است که از دو يا چند ضلعي مساوي و موازي تشکيل شده که رئوس اين چندضلعيها طوري به هم وصل شده اند که وجوه جانبي اين شکل فضايي مستطيل مي‌باشد.

مکعب مستطيل

مکعب مستطيل منشوري است که قاعده‌هاي آن مستطيل مي‌باشد اگر ابعاد قاعده مکعب مستطيل b , a و ارتفاع آن c باشد خواهيم داشت:
=a+b (2c) مساحت جانبي مکعب مستطيل
(ab+ac+bc)2=2ab+2bc+2ac=مساحت کل مکعب مستطيل
=Abcحجم مکعب مستطيل

هرم

هرم شکلي است فضايي که قاعده آن يک يا چند ضلعي است و وجوه جانبي آن مثلث است. اين مثلثها يک رأس مشترک به نام S دارند. هرمي که قاعده آن مربع باشد هرم مربع القاعده و هرمي که قاعده آن مثلث باشد هرم مثلث القاعده ناميده مي‌شود. پاره خطي که از رأس هرم بر صفحه قاعده آن عمود مي‌شود ارتفاع ناميده مي‌شود. اگر قاعده يک هرم يک چند ضلعي منتظم باشد پاي ارتفاع آن بر مرکز قاعده منطبق باشد، هرم را هرم منتظم مي‌ناميم. ارتفاع هر وجه جانبي هرم منتظم را سهم هرم مي‌نامند.
2/سهم×محيط قاعده= مساحت جانبي هرم منتظم
ارتفاع×مساحت قاعده ×3/1 = حجم هرم

مخروط

اگر يک مثلث قائم الزاويه را حول يکي از اضلاع زاويه قائمه دوران دهيم شکلي فضايي پديد مي‌آيد که مخروط ناميده مي‌شود. در اين صورت ضلعي که مثلث را حول آن دوران داده‌ايم ارتفاع مخروط و ضلع ديگر زاويه قائمه شعاع قاعده مخروط و وتر مثلث مولد مخروط مي‌باشد.
2 /مولد مخروط×محيط قاعده مخروط = مساحت جانبي مخروط
ارتفاع×مساحت قاعده×3/1 = حجم مخروط
منبع: http://daneshnameh.roshd.ir
/خ