هندسه اقليدسي
علومي که از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تکميل شد، از قرون يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود. فلسفه ي طبيعي توسط کوپرنيک، برونو، کپلر و گاليله به چالش کشيده شد و از آن ميان فيزيک نيوتني بيرون آمد. چون کليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و کنکاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان کنجکاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا کليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيک از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يکي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود که آن هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد.
در هندسه ي اقليدسي يکسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف ميشود و پنچ اصل به عنوان بديهيات آن پذيرفته ميشود و ساير قضايا با استفاده از اين اصول استنتاج ميشوند.
اصول
هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شکل گرفت
اصل اول - از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر کشيد اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد
اصل سوم - مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد
اصل چهارم - همه ي زواياي قائمه با هم مساوي اند
اصل پنجم - از يک نقطه خارج يک خط، يک خط و و تنها يک خط مي توان موازي با خط مفروض رسم کرد.
ايراد اصل پنجم
اصل پنجم که به اصل توازي معروف است ايجاز ساير اصول را نداشت،جون به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يک قضيه شباهت داشت تا به يک اصل. بنابراين طبيعي بود که لزوم واقعي آن به عنوان يک اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد که شايد بتوان آن را به عنوان يک قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج کرد، يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد .در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فورکوش بويوئي و ... تلاش کردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرنر و آن را به عنوان يک قضيه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثباط خود به کار مي بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد .يانوش بويوئي يکي از رياضيدانان جواني بود که در اين را تلاش مي کرد. پدر وي نيز رياضيداني بود که سالها در اين اين مسير تلاش کرده بود و طي نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش کني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به کام نابودي فرو برده است، التماس مي کنم دانش موازيها را رها کني. ولي يانوش جوان از اخطار پدر نهراسيد، زيرا که انديشه ي کاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض کرد نقيض اصل توازي اقليدس، حکم بي معني اي نيست. وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضميمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه اي از آن را براي گاوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است
بعدها مشخص شد که لباچفسکي در سال 1829 کشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئي منتشر کرده است. و بدين ترتيب کشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسکي ثبت گرديد.
هندسه کاواليري
هدف از اين نوشته آشنايي شما با اصل مساحت کاواليري است.
اگر فرض کنيم قاعده هاي دو شکل بر روي يک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطي موازي قاعده هاي دو شکل در آنها قطعه هايي با طول هاي مساوي ايجاد کند، مساحت هاي آن دو شکل برابر است.
با توجه به شکل دو شکل بر روي افق قرار گرفته اند. اگرهر خطي به موازات قاعده مانند d رسم کنيم و داشته باشيم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.
اصل حجم کاواليري
دو شکل فضايي و صفحه اي که قاعده هاي دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگيريد. اگر هر صفحه اي موازي با اين صفحه که يکي از اين دو شکل را قطع مي کند، ديگري را نيز قطع مي کند و سطح مقطع هاي حاصل داراي مساحت هاي برابر باشند، آنگاه اين دو شکل فضايي حجم يکسان دارند.
خود کاواليري در اين زمينه مي نويسد: «دو جسمي که قاعده ي آنهاي بر يک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطي هم ارزند يعني حجم هاي برابر دارند که مقطع هاي آنهابا صفحه هاي موازي با قاعده باشد.»اين نظام کار، به نام «نظام کاواليري» معروف است.کاواليري بر پايه ي اين نظام، قضيه هاي زيادي را اثبات مي کند. براي نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت هاي دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع هاي متناظر آن ها.ابهامي که در مفهوم «مجموع غير قابل تقسيم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضي از هم عصران کاواليري شد. به همين خاطر کاواليري کتاب ديگري با نام «شش طرح هندسي» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هايي را که بکار مي برد، دقيق تر کند، با وجود اين، خود کاواليري تا پايان زندگي نسبت به کافي بودن استدلالهاي خود در ترديد باقي بود، گرچه به درستي آن ها اعتقاد داشت.طرح کاواليري در هندسه و آموزش او درباره ي غير قابل تقسيم ها، تنها براي درک بهتر هندسه ي مقدماتي سودمند نبود. اين آموزش، يعني جمع کردن غير قابل تقسيم ها، پيش در آمدي براي انتگرال گيري بود. کاواليري نماد انتگرال را بکار نمي برد، ولي در واقع از انتگرال گيري استفاده مي کرد…به جز اين، در هندسه ي کاوليري به قضيه هايي بر مي خوريم که براي پيدايش محاسبه ي ديفرانسيلي، ارزش معيني دارند. از آن جمله، نخستين گزاره اي که در هندسه آمده، هم ارز با قضيه رول است، و به دنبال آن گزاره اي آمده است که مضمون آن اينست: در نقطه هاي ماکزيمم و مي نيمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازي است.يکي از کمبود هاي جدي هندسه ي کاواليري اين است که مولف از بکارگيري جبر فراري است و همه جا به هندسه دانان قديمي تکيه مي کند. بي ترديد، بکار گيري نمادهاي جبري که در زمان کاواليري رايج شده بود، مي توانست کارهاي او را دقيق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.
منابع:
http://daneshnameh.roshd.ir-1
2-http://riazicenter.net
/س