عمده ي پيشرفتي که از قرن 17 ميلادي در رياضيات صورت گرفت ، در حساب ديفرانسيل و انتگرال بود که به خواص عدد حقيقي و تابع‌هاي از اين مجموعه بود. مطالعه‌ي اين مجموعه‌هاي ناشمارا منجر به بوجود آمدن مفاهيم پيوستگي و مشتق گرديد و به اين دليل اين رياضيات را رياضيات پيوسته مي‌خوانند. اما در مقابل اين گونه رياضيات مفاهيم ديگري در رياضيات وجود دارند که روي مجموعه‌هاي متناهي و شمارا قابل تعريف‌اند.به مجموعه‌ي اين مفاهيم رياضي ، رياضيات گسسته گويند. رياضيات گسسته در سال‌هاي اخير و بدليل پيشرفت دانش کامپيوتر بيشترين رشد خود را در تاريخ رياضيات داشته است.

نظريه گراف

نظريه گراف شاخه اي از رياضيات است که درباره اشياء خاصي در رياضي به نام گراف بحث مي‌کند. به صورت شهودي گراف نمودار يا دياگرامي است شامل تعدادي رأس که با يالهايي به هم وصل شده‌اند. تعريف دقيق‌تر گراف به اين صورت است که گراف مجموعه‌اي از رأس‌ها است که توسط خانواده‌اي از زوج‌هاي مرتب که همان يال‌ها هستند به هم مربوط شده‌اند. يالها بر دو نوع ساده و جهت دار هستند که هر کدام در جاي خود کاربردهاي بسياري دارد. مثلا اگر صرفا اتصال دو نقطه -مانند اتصال تهران و زنجان با کمک آژادراه- مد نظر شما باشد کافيست آن دو شهر را با دو نقطه نمايش داده و اتوبان مزبور را با يالي ساده نمايش دهيد. اما اگر بين دو شهر جاده اي يکطرفه وجود داشته باشد آنگاه لازمست تا شما با قرار دادن يالي جهت دار مسير حرکت را در آن جاده مشخص کنيد. آغاز نظريه? گراف به سده? هجدهم بر مي‌گردد. اويلر رياضيدان بزرگ مفهوم گراف را براي حل مسئله پل‌هاي کونيگسبرگ ابداع کرد اما رشد و پويايي اين نظريه عمدتاً مربوط به نيم سده? اخير و با رشد علم داده‌ورزي (انفورماتيک) بوده است. مهم‌ترين کاربرد گراف مدل‌سازي پديده‌هاي گوناگون و بررسي بر روي آنهاست. با گراف مي‌توان به راحتي يک نقشه بسيار بزرگ يا شبکه‌اي عظيم را در درون يک ماتريس به نام ماتريس وقوع گراف ذخيره کرد و يا الگوريتمهاي‌ مناسب مانند الگوريتم دايسترا يا الگوريتم کروسکال و ... را بر روي آن اعمال نمود. يکي از قسمت‌هاي پركاربرد نظريه? گراف، گراف‌هاي مسطح يا هامني است که به بررسي گراف‌هايي مي‌پردازد كه مي‌توان آن‌ها را به نحوي روي صفحه كشيد كه يال‌ها جز در محل راس ها يكديگر را قطع نكنند. اين نوع گراف در ساخت جاده ها و حل مساله کلاسيک و قديمي سه خانه و سه چاه آب به کار مي رود. نظريه گراف يکي از پر کاربردترين نظريه ها در شاخه هاي مختلف علوم مهندسي (مانند عمران)، باستانشناسي(کشف محدوده يک تمدن) و ... است.

نظريه? مجموعه‌ها

شالوده? بنيادين و سنگ اساسي بناي رياضيات جديد است. تعريف‌هاي دقيق جميع مفاهيم رياضي، مبتني بر نظريه مجموعه‌هاست. گذشته از اين روشهاي استنتاج رياضي، با استفاده از ترکيبي از استدلالهاي منطقي و مجموعه- نظري تنظيم شده‌اند. زبان نظريه مجموعه‌ها، زبان مشترکي است که رياضيدانان منطقي در سراسر دنيا با آن صحبت کرده و آن را درک مي‌کنند. چنان که اگر کسي بخواهد پيشرفتي در رياضيات عالي يا کاربردهاي عملي آن داشته باشد، بايد مفاهيم اساسي و نتايج نظريه مجموعه‌ها و زباني که در آن بيان شده‌اند، آشنا شود.

تاريخچه

نظريه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور بنيان گذاشته شد. زماني که کانتور مفاهيم و استدلالهاي جديد و متهورانه خود را منتشر کرد، اهميت آنها تنها توسط تعداد کمي از رياضيدانان بزرگ درک شد. اما اين نظريه در توسعه بعدي‌اش، تقريباً در تمام شاخه‌هاي رياضيات نفوذ کرد و تأثيري عميق بر گسترش آنها داشت. بطوري که حتي باعث تغيير نظريه‌هاي تثبيت شده گرديد و رياضيدانان سعي کردند مفاهيم رياضي را بر اساس نظريه مجموعه‌ها تعريف کنند. به عنوان مثال مي‌توان از تعريف اعداد طبيعي توسط پئانو اشاره کرد. همچنين توسعه بعضي از نظامهاي رياضي، از قبيل توپولوژي، اساساً به ابزار نظريه مجموعه‌ها وابسته است. از اينها مهم‌تر، نظريه مجموعه‌ها نيرويي متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌هاي رياضيات مبناي مشترک و مفاهيم آنها، وضوح و دقتي تازه بخشيده است.
هنگامي که مي‌خواهيم با مجموعه‌اي آشنا شويم مي‌توانيم آنها را به سه صورت مورد بررسي قرار دهيم. مطالعه مجموعه‌ها به طور کلي نياز به آشنايي عمومي با آنها دارد که هر کس که مي‌خواهد علوم پايه را مورد مطالعه قرار دهد بايد اين آشنايي را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبيعي و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعي. در نظريه مجموعه‌ها دو واژه طبيعي و اصل موضوعي دو واژه متضاد هم مي‌باشند.

نظريه طبيعي مجموعه‌ها

مطالعه مجموعه‌ها به صورتي طبيعي به عنوان نظريه طبيعي مجموعه‌ها يا Naive set theory است و اين همان نظريه‌اي است که در آغاز پيدايش نظريه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گرديد. اما در ادامه اين نظريه درگير اشکالات و پارادکس‌هايي همچون پارادکس راسل شد، و به اين ترتيب نياز به يک تغيير در نظريه مجموعه ها احساس شد و به اين ترتيب رياضيداناني چون ارنست زرملو سعي کردند نظريه مجموعه‌ها را در قالب يک دستگاه اصل موضوعي ارايه کنند که منجر به ايجاد نظريه اصل موضوعي مجموعه‌ها انجاميد.

نظريه? اصل موضوعي مجموعه‌ها

در نظريه اصل موضوعي مجموعه‌ها، مجموعه به عنوان يک مفهوم اوليه و تعريف نشده در نظر گرفته شده و با چند اصل موضوع به بررسي خواص مجموعه‌ها پرداخته مي‌شود. هدف اين نظريه جلوگيري از پارادکس‌هاي نظريه مجموعه‌ها است.

منابع:

1-http://daneshnameh.roshd.ir
2- http://math-yu.mihanblog.com
3- http://fa.wikipedia.org

/س