مقدمه
يکي از کهن‌ترين و در ضمن اساسي‌ترين مفهومها در رياضيات، مفهوم عدد مثبت و درست ، يعني مفهوم عدد طبيعي است و تا زماني که انسان وجود دارد، از اهميت اين مفهوم چيزي کم نميشود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم‌هاي ديگر رياضيات ، در جريان برخورد انسان با طبيعت و در جريان کار و فعاليت انسان براي زندگي اقوام گرفته است.
از زمانهاي کهن تا سده نوزدهم ميلادي ، بسياري از نويسندگان ، اختراع عدد را به يک نابغه و فيلسوف بزرگ يا در جايي به جز قلمرو انسان نسبت مي‌دادند. اين جمله کرونيکر ، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که: به جز عددهاي طبيعي که ساخته ذهن بشر نيست، بقيه عددها را انسان آفريده است. برخلاف نظر کرونيکر عددهاي طبيعي هم ، نتيجه‌اي از کار عملي و ذهني انسان است.
منشا پيدايش عدد
نوشته‌هاي قديمي رياضي ، کم و بيش تا سده هيجدهم ، اختراع عدد را به عقل يک فيلسوف قديمي يا فيثاغورس حکيم ، نابغه يونان باستان و غيره نسبت مي‌دادند. از جمله ماگنيتسکي نويسنده نخستين کتابهاي درسي در روسيه ، در کتاب خود به نام حساب از فيثاغورس به عنوان مخترع و پايه گذار اين دانش نام مي‌برد . در افسانه‌هاي زيباي يوناني باستان ، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.
مدرکهاي پيدايش شمارش و عدد
به اين ترتيب دانش ناچار است براي نتيجه گيري ، از مدرکهاي غير مستقيم استفاده کنند. پيش از همه بايد از نژاد شناسي نام برد. زيرا با بررسي فرهنگهاي ملتهايي که در دوران پيش از تاريخ به سر مي‌برند، ميتوان درباره دوره‌هاي تکامل ملتهاي ديگر هم داوري کرد. سرچشمه ديگر پژوهش ، زبان است که نه تنها وسيله بستگي انسانها به ديگر است، بلکه بازمانده‌اي از فعاليتهاي معنوي قدمهاي کهن هم باشد. در زبان و در ويژگيهاي دستوري آن ، آگاهيهاي گرانبهايي نگهداري شده است که تا اندازه‌اي ، به روش شمردن مردم آن زمان ، و اين که چگونه به شمارش امروزي رسيده‌ايم، راهنمايي مي‌کند.با اينهمه ، آگاهيهايي که بوسيله جهانگردان در جريان سده‌هاي 18و 19 جمع‌آوري شده است، اهميت زيادي درباره تاريخ دانش دارد و زمينه اصلي کار را براي ترسيم طرح تاريخي وپيدايش مفهوم عدد درست در اختيار ما مي‌گذارد. روشن شده است که بسياري از قبيله‌ها ، مي‌توانستند حساب کنند بدون اين که نامهاي ويژه اي براي عددها داشته باشند. بنابر آگاهيهايي که بوسيله اياسماپار کاشف معروف قطب (1790-1855) به ما رسيده است، در آن زمان ، اسکيموها ، اگر بيش از سه فرزند داشتند، نمي‌توانستند آنها را بشمارند. با وجود اين ، اگر يکي از فرزندانشان غايب بود، متوجه مي‌شدند. يعني بدون اين که براي هر کدام از آنها ، نشان ويژه جداگانه‌اي داشته باشند، مي‌توانستند حساب آنها را نگه دارند.در اين مرحله از تکامل ، عدد به خودي خود و به عنوان يک مفهوم مستقل درک نميشود، بلکه همراه با ساير ويژگيها است و به کيفيت چيزهايي مربوط ميشود که مجموعه را تشکيل داده‌اند. طبيعي است، شمردن چيزها و مقايسه تعداد عضوهاي مجموعه‌هاي مختلف ، کار دشواري است. آگاهيهاي پراکنده‌اي که در نوشته‌هاي مولفان تمدنهاي نخستين وجود دارد، اين ادعا را ثابت مي‌کند که عمل شمارش براي قومهاي اوليه ، مساله بغرنجي بوده است که هر وقت به آن مي‌پرداختند، برايشان بي‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.
نمونه‌هاي جالبي از پيدايش عدد در طول تاريخ ک.شتاي نن جهانگرد و نژاد شناس ، نمونه جالبي در اين باره نقل مي‌کند. او حدود سالهاي هشتاد سده نوزدهم ، در عمق جنگلهاي آمازون ، به قبيله باکااير برخورد که از نظر تکامل ، در سطح پاييني بودند. او بارها از بوميان خواسته بود ده دانه بشمارند. آنها به کندي ، ولي درست ، تا شش دانه را مي‌شمردند ولي براي شمردن دانه‌هاي هفتم و هشتم با ناراحتي متوقف مي‌شدند، نشاط خود را از دست مي‌دادند، هاج و واج به دور و بر خود نگاه مي‌کردند، از دردسري که گرفتارشان کرده بود، غرغر مي‌کردند سرانجام هم يا از پاسخ طفره مي‌رفتند و يا پا به فرار مي‌گذاشتند.ميکلوخو- ماکلاي ، درباره عدد شماري بوميان گينه نو مي‌نويسد: بوميان روش جالبي براي شمردن دارند. آنها انگشتان خود را يکي پس از ديگري مي‌بندند و صداي معيني را تکرار مي‌کنند وقتي به پنج مي‌رسند، مي‌گويند دست. بعد ، آغاز به بستن انگشتان دست ديگر خود مي‌کنند... تا به دو دست برسند... و براي 15 يک پا و براي 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم بعد از آن را بشمارند، از انگشتان دست و پاي ديگري استفاده مي‌کنند. مي‌بينيم، مهارت در شمردن مربوط به وجود نام ويژه‌اي براي عددها يا وجود نمادهايي براي رقمها نيست.شکل گرفتن عددها را بايد از مرحله‌هاي بالاي تکامل شمار دانست. مدتها پيش از آن که نامهاي ويژه‌اي براي عددها پيدا شود، براي بيان تعداد چيزها، نام هايي وجود داشت. معلوم شده است نزد برخي از قبيله‌هاي آفريقايي ، براي هر يک از حالتهاي 3 گاو ، 3 درخت ، 3 جنگ و غيره نام ويژه اي دارند. يا برخي از قبيله هاي غرب کانادا که نامي براي عدد 3 ندارند، براي 3 چيز از نامهاي استفاده مي کنند. تخه ، سه چيز ،تخانه ، سه برگ. بوميان فلوريدا براي 10 تخم مرغ مي‌گويند نانگوآ و براي 10 سبد نا-بانارا. ولي بطور جداگانه براي عدد 10 (که به چيز مقيد نباشد) از واژه نا استفاده نمي کنند و براي عدد 10 هيچ واژه اي ندارند.نويسنده ضد دوريگلند در اين باره مي گويد: مفهوم هاي عدد و شکل، از جايي جز جهان واقعي ، گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمردن، يعني نخستين عمل حساب را روي آنها ياد گرفت، همه چيز هست جز محصولي که زاييده انديشه خالص باشد. براي شمردن، نه تنها بايد چيزهايي داشته باشيم که آن را بشماريم. بلکه بايد اين استعداد را هم داشته باشيم که ضمن بررسي اين چيزها ، هر ويژگي ديگري جز شمار را از آن جدا کنيم و اين استعداد هم در نتيجه تکامل تاريخي طولاني که متکي بر تجربه باشد بدست مي‌آيد
اعداد تاکسي
زماني كه رياضيدان انگليسي هاردي براي عيادت رياضيدان شهير هند رامانوجان به بيمارستان رفته بود به اين موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسي كه به وسيله آن به بيمارستان آمده، عدد بي ربط و بي خاصيت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعاي هاردي به او يادآور شد كه اتفاقا 1729 بسيار جالب توجه است . خود 1729 عدد اول است. دو عدد 17 و 29 هر كدام عدد اول هستند. جمع چهار رقم تشكيل دهنده آن ميشود 19 كه اول است. جمع دو عدد اوليه و دو عدد آخري ميشود 811 كه باز هم عدد اول است دو عدد ابتدايي(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد 829 ميشود كه باز هم عدد اول است. دو عدد اوليه اگر از هم ديگر كسر شوند؛عدد 67 ساخته ميشود كه باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(1و7و 2). عدد اول؛عددي است كه فقط بر يك و خودش تقسيم ميشود به نحوي كه نتيجه تقسيم عددي كسري نباشد(خارج تقسيم نداشته باشد)
جمع عددي اعداد تشكيل دهنده 1729 يا:1+7+2+9=19 است؛ عكس 19 عدد 91 است؛ اگر 19*91بشودنتيجه برابر 1729 ميشود. اين هم يكي ديگر از اختصاصات 1729 است كه در هر عددي ديده نميشود. عدد 1729 اولين عددي است كه مي توان آنرا به دو طريق به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت نوشت :
12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729مي باشند .(اولين مطلب موجود در رابطه با اين خاصيت 1729 به كارهاي بسي رياضيدان فرانسوي قرن هفدهم باز مي گردد.) حال اگر كمي مانند رياضيدانها عمل كنيد بايد به دنبال كوچكترين عددي بگرديد كه به سه طريق مختلف حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت است اين عدد87539319 مي باشد كه در سال 1957توسط ليچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر87539319 است . امروزه رياضيدانان عددي را كه به n طريق مختلف به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت باشد ،n ــامين عدد تاكسي مي نامند و آنرا با Taxicab نمايش مي دهند.جالبتر از همه اينكه ،هاردي و رايت ثابت كردند براي هر عدد طبيعي n ناكوچكتر از 1 ،n ــامين عدد تاكسي وجود دارد ! هرچند، چهارمين تا هشتمين اعداد تاكسي نيز كشف شده اند ولي تلاشها براي يافتن نهمين عدد تاكسي تاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زيادي درباره اعداد تاكسي موجود نيست . در ضمن ميتوان مسئله را از راههاي ديگر نيز گسترش داد . مثلا همانگونه كه هاردي در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسيد و او قادر به پاسخگويي نبود ، اين پرسش را مطرح كنيد: كوچكترين عددي كه به دوطريق حاصلجمع توانهاي چهارم دو عدد مثبت مي باشد ،كدام است؟ اين عدد توسط اويلر يافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنين توانهاي چهارم 133 و 134 مي باشد.
منبع:http://riazicenter.net/س