ديد كلي:
ما براي فهم تاريخ واقعي بوجودآمدن و پيشرفت رياضيات ، منطق ديالتيک را راهنماي خود قرار داديم. ديالتيک ، بويژه به اين علت ما را به نتيجهگيريهاي درست مي‌رساند که هيچ چيز را به حقيقت تحميل نمي‌کند، بلکه واقعيت‌ها را همان‌طور که هستند، يعني رابطه‌ها و پيشرفت‌هاي ضروري آنها را بررسي مي‌کند. کاملا اشتباه است اگر بگوييم که در رياضيات خالص ، انديشه ، تنها با آفرينش‌ها و گمان‌هاي خود سروکار دارد. مفهوم‌هاي عدد و شکل ، از جايي جز از جهان واقعي گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمرد، يعني نخستين عمل حساب را روي آنها ياد گرفت، همه چيزي هست جز محصولي که مخلوق خود فکر باشد. براي شمردن، نه تنها بايد چيزهايي داشته باشيم که آنها را بشماريم، بلکه بايد اين آمادگي را هم داشته باشيم که ضمن بررسي اين چيزها ، هر ويژگي ديگري بجز شمار را از آن جدا کنيم و اين آمادگي هم در نتيجه پيشرفت تاريخي طولاني ، که به آزمايش متکي باشد، بدست مي‌آيد. مفهوم شکل هم ، مانند مفهوم عدد ، تنها از دنياي خارج بدست آمده است و در مغز و از انديشه خالص پديد نيامده است. پيش از اين که بتوان به مفهوم شکل رسيد، بايد چيزهايي با شکل معين موجود باشد و اين شکل‌ها نيز با يکديگر مقايسه شده باشد. موضوع رياضيات ، عبارت است از شکل‌هاي فضايي و رابطه‌هاي کمي دنياي واقع ؛ يعني موضوع آن ، از مصالح واقعي درست شده است.
ويژگيها و درون‌مايه رياضيات
رياضيات بازتاب‌کننده واقعيت است و تاکيد مي‌کند که رياضيات از نيازهاي عملي مردم بوجود آمده و نخستين مفهوم‌ها و کاربردهاي آن در نتيجه پيشرفت تاريخي طولاني که متکي بر آزمايش است بدست آمده است و ما اين مطلب را بطور گسترده‌تري روي نمونه حساب و هندسه دنبال کرده‌ايم. ما بويژه پذيرفته‌ايم که مفهوم عدد ، کميت و شکل هندسي ، به همين ترتيب بوجود آمده است و اين مفهوم‌ها رابطه‌هاي کمي واقعي و شکل‌هاي فضايي واقعيت را بازتاب مي‌دهند. موضوع رياضيات ، مصالح معين کاملا واقعي است، ولي رياضيات اين مصالح را جدا از محتواي مشخص و ويژگي‌هاي کيفي آنها بررسي مي‌کند. و در همين جاست که رياضيات از دانش‌هاي طبيعي جدا مي‌شود. ويژگي اساسي رياضيات عبارت‌اند از "زبان فرمولي" ويژه رياضي ، گسترش کاربرد آن ، و اين نتيجه‌گيري رياضي ، جدا از آزمايش بدست مي‌آيد و سرانجام ويژگي الزامي و متقاعدکننده بودن اين نتيجهگيريها. اگر مفهوم عدد را ، از جنبه مشخص آن جدا کنيم و عددهاي درست را بطور کلي و صرف نظر از رابطه‌هايي که با اين و يا آن مجموعه مشخص دارد بررسي کنيم، به خودي‌خود روشن است که نخواهيم توانست درباره چنين عددهاي انتزاعي ، آزمايش کنيم. اگر در اين سطح انتزاعي بمانيم و به چيزهاي مشخص برنگرديم، تنها از روش استدلال ، استدلالي که از خود مفهوم عدد سرچشمه مي‌گيرد، مي‌توان به نتيجه‌هاي تازه‌اي درباره عددها رسيد. البته هم نتيجهگيريها ديگر رياضيات هم به همين ترتيب‌اند.
بويژه ، مشخص بودن مفهوم‌هاي رياضيات همراه با منطق (منطقي که همه جا با کارايي خود را نشان مي‌دهد)، اين ويژگي را براي رياضيات بوجود آورده است که نتيجهگيريهاي آن متقاعدکننده است و ضرورت منطقي دارد. همين ضروري بودن نتيجهگيريهاي رياضي است که زمينه را براي اين تصور اشتباه فراهم آورده است که گويا پايه رياضيات بر تفکر خالص گذاشته شده است و گويا رياضيات علمي حضوري است و از آزمايش بدست نيامده است و گويا واقعيت‌ها را بازتاب نمي‌دهد. اين مطالب که رياضيات حضوري نيست، بلکه متکي بر آزمايش است، واقعيتي انکارناپذير است. نه تنها خود مفهوم‌هاي رياضيات ، بلکه نتيجه‌ها و روش‌هاي آن هم بازتابي از واقعيت است.
انتزاع کامل موضوع رياضي از هر چيز مشخص ، و عقلاني و ذهني بودن نتيجهگيريهاي آن ، که بر پايه اين انتزاع قرار دارد، ويژگي مهم ديگري از رياضيات را بدنبال خود مي‌آورد: در رياضيات ، نه تنها آنگونه رابطه‌هاي کمي و شکل‌هاي فضايي که به طور مستقيم "از واقعيت جدا شده است" بررسي مي‌شود، بلکه آن رابطه‌ها و شکل‌هايي هم که در داخل خود رياضيات و بر پايه اجتماع مفهوم‌ها و نظريه‌هاي رياضي معين شده است، مورد بررسي قرار مي‌گيرد.از ويژگي‌هاي آخرين دوره پيشرفت رياضيات ، نه تنها اين است که انتزاع‌هاي آن در درجه‌هاي بالاتري قرار گرفته است، بلکه اين هم هست که موضوع آن بطور اساسي گسترش پيدا کرده است و از چارچوب مفهوم‌هاي مقدماتي رابطه‌هاي کمي و شکل‌هاي فضايي خارج شده است. البته شکل‌هاي مربوط به فضاهاي چندبعدي و بي‌نهايت بعدي ، آنگونه که از شکل‌هاي فضاي واقعي معمولي (و نه از فضاي انتزاعي رياضي) مي‌فهميم شکل‌هاي فضايي عادي نيستند. اين فضاها معنا و مفهوم واقعي دارند و شکل‌هاي مشخصي از واقعيت را بصورت انتزاعي بازتاب مي‌دهند، ولي تنها شباهتي با شکل‌هاي فضايي دارند و به همين علت در مقايسه با فضاي واقعي مي‌توان آنها را "شبه فضا" ناميد.
نظر انگلس درباره رياضيات
"داروي درباره رياضيات عميق و پرمايه است و تا چه حد مي‌توان آن را گسترش داد". با وجود اينکه انگلس ، رياضيدان نبود. تحزيه و تحليل عميقي از پايه‌هاي اين دانش مي‌کند، نه تنها به اين علت است که او يک متفکر نابغه بود، بلکه مهم‌تر از همه به اين علت است که به ماترياليسم ديالتيک چيره بود و آن را براي روشن کردن ماهيت رياضيات ، راهنماي خود قرار مي‌داد. بنابراين نبايد در شگفت بود که پيش از او هيچ کس نتوانست يک چنين راه‌حل عميق و درستي از اين مساله ارائه دهد. بزرگترين رياضيدانان هم نمي‌توانستند در يک چنين حجم فشرده‌اي به اين موفقيت برسند.
اهميت ماترياليسم ديالتيک
اهميت و نيروي ماترياليسم ديالتيک نشان مي‌دهد که براي چيرگي بر يک دانش کافي نيست خدمتگزار خلاقي براي آن باشيم، بلکه علاوه بر اينها ، لازم است به روش کلي و درست استدلال ، يعني به ماترياليسم ديالتيک ، چيره باشيم. بدون اين چيرگي ، نتيجهگيريهاي دانش يا بصورت يک توده بي‌شکل به نظر مي‌رسد و يا بطور کلي از شکل مي‌افتد و به جاي اين که درک درستي از دانش بدست بياوريم، دچار تصورهاي اشتباه ماوراي طبيعي و ذهني درباره آن مي‌شويم. بسياري از رياضي‌داناني که با اين روش استدلال آشنا نيستند يا اصولا نمي‌توانند در مساله‌هاي عمومي مربوط به دانش خودشان ، جهت‌يابي کنند و با اين مساله‌ها را به کلي نادرست بيان مي‌کنند.
منبع:http://riazicenter.net/خ