در رياضيات، گروه، مجموعه‌اي است که يک عمل دوتايي ازقبيل جمع،ضرب و... روي آنها تعريف مي‌کنند.براي مثال مجموعه اعداد صحيح يک گروه تحت عمل جمع است. شاخه‌اي از رياضيات که بر روي گروهها مطالعه مي‌کند، نظريه گروهها است.از نظر تاريخي مبدا اين نظريه به کارهاي اواريست گالوابرمي‌گردد.او همچنين در کارهاي قبلي خود به طور محسوس از جايگشت استفاده کرده بود. گروهها در خيلي از ساختارهاي جبري از قبيل ميدان و فضاي برداري ديده مي‌شوند و ابزار مهمي براي مطالعه تقارن است. به همين دليل است که نظريه گروهها به عنوان يکي از مهترين مباحث در رياضيات مدرن است. بدون ترديد يکي از جذاب ترين ويژگيهاي رياضيات جديد دوگانگي مابين موضوعات مختلف در آن است. براي مثال اگر جبر، آناليز، توپولوژي و يا منطق رياضي را مطالعه کنيم، مشاهده مي‌کنيم که ايده‌هاي خاصي در تمام اين شاخه‌ها مطرح مي‌شوند. مفهوم گروه يکي از همين ايده‌هاست که همه جا ظاهر مي شود.علي‌الخصوص درمطالعه‌ي اشياء توپولوژيک که پوانکاره با بوجود آوردن علم توپولوژي جبري گام بزرگي را در پيشرفت هندسه و توپولوژي برداشت. بعلاوه در رشته هاي ديگري از علوم، مانند شيمي، مکانيک کوانتوم و فيزيک ذرات بنيادي، که در آنها رياضيات به عنوان ابزار به کار مي رود، گروهها اهميت بسزايي دارند.
تعريف
فرض کنيد که G يک مجموعه و * يک عمل دوتايي يک تابع از Gبه توي G بوده و * داراي خواص زير باشد:
عمل * شرکت پذيري باشد ،
G تحت * داراي عضو خنثي باشد : عضوي مانند e در G وجود دارد به طوريکه به ازاي هر x در G داريم: x*e=e*x=x ،
G تحت * داراي عضو معکوس باشد : به ازاي هر x عضو در G عضوي مانند y در G وجود دارد به طوريکه : x*y=y*x=e ،
در اينصورت G همراه با عمل دوتايي * گروه ناميده مي شود و آنرا با (G, * ) نمايش مي دهيم.
توجه کنيد که از شرط دوم نتيجه مي‌گيريم که G غيرتهي است.
عضو e در G عضو هماني نام دارد که فقط يک عضو با چنين خاصيتي وجود دارد و در نتيجه خواهيم توانست آنرا عضو هماني بناميم. عضو y در شرط سوم معکوس x نام دارد.
هر عضوي از يک گروه مانند x فقط يک معکوس دارد، و از اينرو مي توانيم آنرا معکوس x بناميم.
عضو منحصر بفرد هماني e معادلات x*e=e*x=x را به ازاي هر x در G ارضا مي کند. حال آنکه Y در شرط سوم به x بستگي دارد. خواهيم ديد که دو عضو متمايز G هيچ‌وقت نمي توانند معکوس هاي برابري داشته باشند و در نتيجه اعضاي متفاوت x, معکوس هاي متفاوتي همچون y خواهند داشت.
همچنين مناسب است تاکيد کنيم فرض ما اين نيست که * يک عمل جابجائي است. گروههايي که عمل آنها خاصيت جابجايي است گروههاي آبلي نام دارند. اين نامگذاري به افتخار رياضيدان نروژي نيلز هنريک آبل (1829 )ـ 1802 صورت گرفته است.گروههايي را که آبلي نيستند ، گروههاي ناآبلي گويند.
مفهوم مجرد گروه زماني شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسياري از موضوعاتي که مطالعه مي کردند داراي مشخصه هاي ساختاري مشترک هستند و اين فکر در آنها قوت گرفت که شايد بتوان با مطالعه مجرد اين ويژگيهاي مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعي صرفه جوئي در وقت و دست يافت. در تحليل پيشرفتهاي اين موضوع اريک تمپل بل يادآور شده است که هرزمان گروهها خود را ظاهر مي سازند و يا مي توان آنها را معرفي کرد، سادگي و وضوح از لابلاي دريختگي ها درخشش مي يابد.
مثال‌هايي از گروهها
مجموعه اعداد صحيح با عمل جمع يک گروه آبلي است.
مجموعه اعداد حقيقي با حذف عدد صفر با عمل ضرب يک گروه آبلي است.
مجموعه تقارن‌هاي هر چند وجهي تشکيل يک گروه ناآبلي مي‌دهد.
به ازاي هر عدد طبيعي n ، دستگاه کامل مانده‌ها به پيمانه n با جمع ، گروه است.
منبع: http://daneshnameh.roshd.ir/س