انگاره‌ي گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترين مسايل حل نشده‌ي رياضيات مي‌باشد.براي درک اين مساله تنها کافيست با مفهوم اعداد اول آشنا باشيد. اين انگاره چنين است:
هر عدد صحيح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.
صورت معادل آن چنين است:
هر عدد صحيح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.
گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر اين حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌اي به اويلر مطرح کرد، نامش در تاريخ رياضيات باقي مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردي که امتحان مي‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) مي‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اويلر حدس گلدباخ را تعميم داد به طوري‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را مي‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً
4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 , … , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …
گلدباخ از اويلر پرسيد که آيا مي‌تواند اين مطلب را براي همه عددهاي زوج ثابت کند و يا اينکه مثال نقضي براي آن بيابد؟ شواهد تجربي در تاييد اينکه هر عدد زوج به اين صورت قابل نمايش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسي مي‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، اين موضوع را تحقيق کند. منشأ دشواري در اين است که عددهاي اول بر حسب ضرب تعريف مي‌شوند در حالي که اين مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلي، اثبات رابطه بين ويژگيهاي ضربي و جمعي اعداد صحيح کار مشکلي است.

تلاش‌ها براي اثبات

در سال 1931 اشنيرلمان (1905-1938) که در آن موقع يک رياضيدان روس جوان و گمنام بود موفقيت مهمي در اين زمينه به دست آورد که براي همه متخصصان غيرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحيح مثبت را مي‌توان به صورت مجموع حداکثر 300000 عدد اول نمايش داد. گر چه اين نتيجه در مقايسه با هدف اصلي يعني اثبات انگاره‌ي گلدباخ مضحک به نظر مي‌رسد، ولي اين نخستين گام در آن جهت بود. اين اثبات مستقيم و سازنده است، اما هيچ روش خاصي براي تجزيه يک عدد صحيح دلخواه به اعداد اول ارائه نمي‌کند.
بعدا وينوگرادوف رياضيدان روس با استفاده از روشهاي هاردي ، ليتلوود و همکار هندي برجسته آنها رامانوجان در نظريه تحليلي اعداد ، موفق شد تعداد عددهاي اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. اين نتيجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسيار نزديکتر است ولي تفاوت عمده‌اي بين حکم اشنيرلمان و حکم وينوگرادوف وجود دارد که شايد مهمتر از اختلاف ميان 300000 و 4 باشد. قضيه وينوگرادوف فقط به ازاي همه اعداد صحيح «به اندازه کافي بزرگ» ثابت شده است؛ به بيان دقيقتر، او ثابت کرد عدد صحيح N اي وجود دارد به طوري که هر عدد صحيح n>N را مي‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وينوگرادوف راهي براي براورد کردن N به ما نشان نمي‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنيرلمان، اساساً غيرمستقيم و غيرسازنده است. در حقيقت، چيزي که وينوگرادوف ثابت کرد اين است که فرض نامتناهي بودن تعداد عددهاي صحيحي که قابل تجزيه به حداکثر 4 عدد اول نيستند، به نتيجه نامعقولي مي‌انجامد. در اينجا با نمونه خوبي از تفاوت عميق ميان دو نوع اثبات، مستقيم و غيرمستقيم، رو به روييم.
در سال 1956 باروتسکين با نشان دادن اينکه عددn=exp(exp(38/16)) در قضيه وينوگرادف کافيست گام ديگري در اين راه نهاد.
در 1919 ويگوبرون رويکرد متفاوتي با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعميمي از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحيح زوجي که به قدر کافي بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.
در 1937 ريچي ثابت کرد هر عدد زوجي که به قدر کافي بزرگ باشد مجموع دو عدد است که يکي حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول و ديگري حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است.
کُن با بهره‌گيري از ايده‌هاي ترکيبياتي بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافي بزرگ مجموع دو عدد است که هر يک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.
در 1957 ، ونگ يوان با فرض درست بودن صورت تعميم يافته فرضيه ريمان ثابت کرد هر عدد صحيح زوج بقدر کافي بزرگ ،‌مجموع يک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.
در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعميم يافته فرضيه ريمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافي بزرگ مجموع يک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددي ثابت و مجهول است).
در 1961 باربن نشان داد که c=9 براي اين منظور کفايت مي‌کند.
در 1962 ، پان چنگ دونگ اين مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهي پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.
در 1965 بوخشتاب اين قضيه را به ازاي c=3 کاهش داد.
در 1966 ، چن جينگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضيه را به ازاي c=2 ثابت کرد.
يعني :
هر عدد صحيح زوجي که به قدر کافي بزرگ باشد ، مجموع يک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.
منابع:
1- http://sciency.blogfa.com
2- http://daneshnameh.roshd.ir
/خ