منطق جمله ها يا (sentential logic ) مجموعه قواعدي راجع به ارتباط جملات با يکديگر است .در منطق جمله ها به ساختار داخلي جمله ها كاري نداريم و آنها را به حال خود رها مي كنيم . به مثال زير توجه كنيد :
a) برادرم هميشه يا سردرد دارد يا كمردرد.
b) برادرم سردرد ندارد
c) برادرم كمردرد دارد
ساختار صوري اين مثال و همه موارد مشابه آن چنين است :
a) P يا Q
b) چنين نيست كهQ
c) پس P
همانطور كه ملاحظه مي كنيد ، اين استنتاجي است كه براي پيدا كردن نمونه هاي آن بايد بدنبال يك جمله باشيم نه يك كلمه . مثلا بجاي (P) يك جمله خبري و بجاي (Q) يك جمله خبري ديگر مي گذاريم. صدق چنين گزاره ها و استنتاجاتي آزمودني و تجربي نيست يعني براي پيداكردن صدق يا كذب آن نبايد به سراغ مفهوم و كلمات داخل جملات برويم. و آنها را آزمايش كنيم . صادق بودن اين گزاره ها و استنتاج ها هيچ ارتباطي با معناي جملات (P) و (Q) ندارد . اين استنتاج منطقا صادق است. در منطق قديم اين نوع استنتاج را اصطلاحا قياس استثنايي مي گويند. قياس در منطق قديم از دو ناحيه تقسيم بندي مي شود:
• ماده قياس : اگر مواد قياس از يقينيات يا مسلمات يا مشهورات يا وهميات باشد اقسام مختلفي بوجود مي آيد كه آن را «صناعات خمس» گويند. بر اين اساس استنتاج به 5 قسم تقسيم مي شود وآنها عبارتند از : برهان، جدل، خطابه، شعر، مغالطه.
•صورت قياس :كه از اين جهت به دو قسم استثنايي و اقتراني تقسيم مي شود.در قياس استثنايي بايد «نتيجه» يا نقيض نتيجه در يكي از مقدمات تصريح مي شود. در اين نوع قياس تقريبا با معناي داخلي جملات كار نداريم. مثلا :
a)اگر زيد عادل است ، اوامر خدا را اطاعت مي كند
b) ليكن زيد اوامر خدا را اطاعت نمي كند
c) پس زيد عادل نيست.
در منطق جمله ها (sentential logic ) هم كه به ساختار داخلي جمله هيچ كاري نداريم، قياس استثنايي مطرح است. در منطق جديد اين استنتاج داراي يك ساختار صوري واحد است .و مي تواند از 2 يا 3 يا چندين مقدمه تشكيل شود. به مثال زير توجه كنيد:
a) اگر تيم پيكان با تيم پيروزي بازي كند، آنگاه بازي را مي برد.
b) اگر تيم پيكان بازي را ببرد، آنگاه 5 سكه جايزه مي گيرد.
c) تيم پيكان جايزه نگرفت.
d) تيم پيكان ، تيم پيروزي را شكست نداد.
اكنون هر جمله را به ترتيب با نماد (P) و (Q) و (R) نشان مي دهيم . ساختار منطقي آن چنين است :
a)اگر P آنگاه Q
b)اگر Q آنگاه R
c) چنين نيست كه R
d)چنين نيست كه P
اگر هر جمله اي را به جاي (P) و (Q) و (R) بگذاريد. خواهيد ديد كه همه نمونه ها صادق هستند. (P) و (Q) و (R) را اصطلاحا (sentence letter)يا جانشين جمله مي گوييم . اين استنتاج به زبان منطق جمله ها به شکل زير ترجمه مي شود:
1-P ? Q
2-Q ? R
-3 ~ R
4- ~ P
در منطق جمله ها ، گاهي اوقات با ترکيبات عطفي سروکار داريم. ترکيب عطفي عبارت است از پيوند دادن يک جمله به جمله ديگر با حرف عطف (و) . به مثالهاي زير توجه کنيد:
1-او اهل کاشان است و هواي کاشان گرم است
2-( زمان ثبت نام دانشجوست و درب دانشگاه بسته است) و اولياي آنها ناراحتند.
3- مردم خوشحالند و( قيمت بنزين تثبيت شدوسهميه بنزين افزايش يافت)
اگر بجاي هر جمله ، علامت هاي (P) و (Q) و (R) بگذاريم . خواهيم ديد که همه نمونه ها صادق هستند. مي توان جملات فوق را به صورت هاي زير ترجمه کرد و به جاي آنها نشانه گذارد:
p&Q
(p&Q)&R
p&(Q&R)
گزاره هاي فصلي و عطفي
در منطق دو ارزشي همه چيز بر پايه ي دو حالت بنا شده است ، بنابر اين ما در اين منطق دو عملگر اصلي داريم. "يا" ، "و" عملگرهاي اصلي اين منطق هستند و عملگرهاي ديگر به صورت شکل ديگري از ترکيب اين دو عملگر و نقايض آن ها ايجاد مي شوند.
گزاره هاي فصلي : گزاره هايي هستند که در آنها حرف ربط "يا" به کار رفته است. گزاره هاي چند جزئي که با حرف ربط "يا" به يکديگر مربوط مي شوند حتي اگر يکي از گزاره ها درست باشد شرط درست است و براي نادرستي شرط بايد تمامي گزاره ها نادرست باشند.
گزاره هاي عطفي : گزاره هايي هستند که در آنها حرف ربط "و" به کار رفته است. گزاره هاي چند جزئي که با حرف ربط "و" به يکديگر مربوط مي شوند حتي اگر يکي از گزاره ها درست نباشد شرط نادرست است و براي درستي شرط بايد تمامي گزاره ها درست باشند.همانطور که در بالا ديد هر دو داراي تعريفي مشابه و نقيض يکديگر هستند، پس مي توان گفت که نقيض گزاره هاي فصلي به شکل عطفي است و نقيض گزاره هاي عطفي به شکل فصلي است.
قواعد منطق جمله ها
در منطق جملات چند قاعده مهم وجود دارد كه به آن اشاره مي كنيم :
•قاعده اول : نقيض
از هر جمله خبري مثل (P) مي توان جمله ي ديگري ساخت كه اگر اولي صادق باشد حتما دومي كاذب است و بالعكس .
قاعده نقيض در منطق قديم، به نحوي بود كه با مفهوم و ساختار داخلي جملات ارتباط داشت. نقيض يك قضيه در منطق قديم سه شرط داشت :
• اختلاف در كَمّ
• اختلاف در كيف
• اختلاف در جهت
بنابراين اگر يك قضيه به صورت « موجبه كليه» بود ، نقيض آن به صورت « سالبه جزئيه» بود. واگر يك قضيه « موجبه جزئيه» بود نقيض آن به صورت «سالبه كليه » است. در اين صورت اگر يكي از قضايا صادق باشد آنگاه قطعا ديگري كاذب است منطقيين قديم قاعده نقيض را در به صورت قطر يك مربعي ترسيم مي كردند كه رئوس چهارگانه آن قضاياي محصورات چهارگانه است. صورت كلي قاعده نقيض در منطق قديم چنين است:
هر الف ب است (1) ? بعضي الف ب نيست
هيچ الف ب نيست ? بعضي الف ب است (2)
در منطق صوري، براي ساختن نقيض هر جمله اين اقدام كافي نيست كه تنها فعل جمله را منفي يا مثبت كنيم. بلكه بايد به سراغ كلمات داخل جمله رفته و آن را تغيير دهيم . مثلا « هيج» را به جاي « بعضي» بگذاريم و به عبارت ديگر « سور قضيه» را تغيير دهيم.
اما در منطق جمله ها، كه با ساختار دروني جمله ها كاري نداريم . نبايد كلمه يا مفهومي را در درون جمله ها عوض كنيم بلكه با آوردن « چنين نيست» در اول جمله نقيض آن را مي سازيم. نشانه نقيض در منطق رياضي (p~) يا () است. جدول ارزش يا روش سريع شناخت صدق و كذب (P) و ( ) به شكل زير است :
اين جدول نشان مي دهد كه اگر (P) درست باشد آنگاه بطور قطع ( ) نادرست است . و اگر ( ) درست باشد آنگاه قطعا (P) نادرست است .
نقض گزاره ها
نمي توان آن را تعريف کرد، زيرا اگر بخواهيم آن را تعريف کنيم باز نياز به استفاده از خودش براي تعريف خودش داريم. به چند تعريف زير توجه کنيد :
1 - نقيض يک گزاره ، گزاره اي است که داراي ويژگي هاي آن گزاره نباشد.
2 - نقيض يک گزاره يعني اگر گزاره اي درست باشد آنگاه نقيض آن نادرست است.
3 - نقيض يک گزاره يعني مکمل حالت هايي که آن گزاره شامل نيست.
و تعاريفي مانند اين ها ...
تعاريف بالا گرچه مفهوم را مي رسانند و منظور از آوردن آن ها القاء مفهوم نقيض بوده است اما غلط هستند چون در آنها به نوعي از خود مفهوم نقيض استفاده شده است.براي مثال در جمله ي اول، عبارت داراي ويژگي هاي آن گزاره نباشد. خود نقيض عبارت داراي ويژگي هاي آن گزاره باشد. است، همچنين در جملات بعدي عبارات نادرست و نيست خود به ترتيب نقيض عبارات درست و هست مي باشند
•قاعده دوم : فرض
در هر استدلال، نخست بايد پيش فرضي داشته باشيم. تا با در نظرگرفتن آن، به نتايج جديدي برسيم. قاعده فرض در منطق جمله ها به اين صورت تبيين مي شود:
در هر مرحله و هر سطر از استدلال مي توان جمله اي را «فرض» کرد و به سطور استدلال اضافه کرد .
به استدلال هاي زير توجه کنيد :
(1) p?Q
(2)……..
------------------------
(1)…….
(2) p?Q
همانطورکه ملاحظه مي شود در برهان نخست، درسطر اول قاعده فرض مطرح شده است. اما در برهان دوم ، قاعده فرض در سطور مياني ذکر شده است. پس اين قاعده به ما اجازه مي دهد که در هر مرحله از برهان، يک فرضي را به متن استدلال خود اضافه کنيم.
•قاعده سوم : نقض مضاعف
طبق اين قاعده از يک قضيه و گزاره اي مثل (P) مي توان به (p~~ ) رسيد. و نيز از يک قضيه مثل (p~~ ) مي توان به (P) رسيد. بنابر اين از ضميمه کردن اين قاعده با قاعده قبلي چنين نتيجه مي گيريم :
(1)…….
(2) p?Q
(3) ~~ (p?Q)
اين قاعده در منطق جديد به (rule of double negation ) موسوم است.
•قاعده چهارم : وضع مقدم
اين قاعده در منطق جمله ها به شکل زير بيان مي شود :
از دو مقدمه (p?Q) و (p) مي توان (Q) را نتيجه گرفت. اين نتيجه بر همه فرض هايي استوار است که هر يک از دو مقدمه مذکور به آن فرض ها وابسته است.
به مثال زير توجه کنيد:
(1) p
(2) p?Q
(3) Q
در سطر(1) و (2) قاعده فرض بکار رفته است . اما در سطر(3) قاعده وضع مقدم جاري است.
در منطق رياضي براي آساني در نگارش، مي توان مثال فوق را به شکل زير در يک سطر خلاصه کرد:
P , p?Q ? Q
همانطورکه ملاحظه ميشود برهان سه خطي فوق در يک خط و با علامت (?) به معناي « نتيجه ميشود» خلاصه شده است.ضمنا علامت (,) حد فاصل مقدمات يا سطرهاي يک استدلال است و سطر قبل را از سطر بعد متمايز مي سازد .
به مثال دوم توجه کنيد:
(1) p?Q
(2) Q?R
(3) p
(4)R
اين استدلال 4 سطري را مي توان در يک سطر به صورت زير خلاصه کرد
p?Q , Q?R , p ? R
قاعده وضع مقدم در منطق قديم در قياس استثنايي به شرح زير بکار مي رود :
oاستثناء عين مقدم در متصله:
گفتيم در قياس استثنايي، عين نتيجه و يا نقيض نتيجه، به نحوي در يکي از مقدمات ذکر شده است. آن مقدمه نيز بايد قضيه اي شرطيه باشد. و از آنجاکه شرطيه بر دو قسم متصله و منفصله تقسيم مي شود، قياس استثنايي هم به همين دو قسم تقسيم شده است.
قاعده وضع مقدم در قياس استثنايي متصله به اين صورت جاري است:
هرگاه عين مقدم در يکي از مقدمات استثناء شود ، آنگاه عين تالي نتيجه مي شود . زيرا برابر يک اصل عقلي ( تحقق ملزوم مستلزم تحقق لازم است) . به عنوان مثال:
a)اگر باران ببارد، آنگاه زمين خيس مي شود.
b)لکن باران مي بارد
---------------------------------
c)پس زمين خيس است
oاستثناء عين مقدم در منفصله:
در قضيه منفصله، هرگاه يکي از طرفين قضيه را مقدم و ديگري را تالي بناميم آنگاه در شرطيه منفصله حقيقيه استثناء عين مقدم، نقيض تالي را سبب مي شود. به عنوان مثال :
a)هر عدد يا زوج است يا فرد
b)لکن اين عدد زوج است.
--------------------
c)پس فرد نيست.
نتيجه آنکه » وضع مقدم » در منطق قديم دو کارکرد دارد:
1- وضع تالي : در استثنايي متصله
2- رفع تالي : در استثنايي منفصله
• قاعده پنجم : رفع تالي
در منطق جمله ها قاعده رفع تالي به صورت زير بيان مي شود :
از (p?Q) و (Q~) مي توان نتيجه گرفت که : ( p~ ) و
اين نتيجه دقيقا بر همان فرض هاي مقدمات استوار است .
به مثال زير توجه کنيد :
(1) p?Q
(2) ~ Q
p~ (3)
در سطر اول و دوم استدلال فوق قاعده فرض بکار رفته و در سطر سوم قاعده رفع تالي جريان دارد. البته مي توان استدلال فوق را در يک سطر به شکل زير خلاصه کرد :
p~ ? Q~ , Q ? p
به مثال ديگري به شرح زير توجه کنيد:
(1) ~p ? ~~Q قاعده فرض :
(2) ~ قاعده فرض :
قاعده نقض مضاعف : Q~~~ (3)
قاعده رفع تالي : p~~ (4)
قاعده نقض مضاعف خلاصه كرد: p(5) استدلال فوق را مي توان در يک سطر
p ? Q~ , Q~~ ? p~
منابع:
1-http://www.mohammadirandoost.blogfa.com
2- http://fa.wikipedia.org
3-كتاب منطق رياضي
4-كتاب ساختمان گسسته مهندس يوسفي/الف