اعداد چند ضلعي

اعداد چند ضلعي عددهايي هستند، که با شکلچند ضلعي‌هاي منتظم ارتباط ويژه‌اي دارند. ارتباط ويژه‌اي دارند. ابتدا به اين جدول خوب دقت کنيد:
خواص رياضي اعداد چند ضلعي، با مطالعه‌ي اين اشکال کشف شده‌اند. بحث در مورد عددهايي که به صورت چند ضلعي هستند، شيرين اما مفصل است. ما در اينجا سعي مي کنيم. باعددهاي چند ضلعي آشنا شويم ، و در مورد برخي از آنها نيز فقط به يک خاصيت اشاره کنيم.
الف ـ عددهاي مثلثي: اگر چند دکمه يکسان داشته باشيد، مي توانيد آنها را کنار هم طوري قرار‌دهيد
که تشکيل يک مثلث متساوي‌الاضلاع دهند. به طوري که در سطر اول جدول مشاهده مي‌کنيد، در هر کدام از اين مثلثها فقط يک دکمه در راس قرار‌دارد در هر يک از سطرهاي پايين نيز، هر سطر يک دکمه بيشتر از سطر بالاي خود دارد. پس شمار دکمه‌هاي به کار رفته در آنها را، چپ به راست، مي‌توان چنين به دست آورد:
…،(5+4+3+2+1)،(4+3+2+1)، (3+2+1)، (2+1)،(1)و حاصل هر يک از آنها نيز عدد مثلثي نام دارد. پس سري اعداد مثلثي چنين خواهد‌بود:
…،78،66،55،45،36،28،21،15،10،6،3،1
در اينجا اگر شمار دکمه‌هاي واقع در يک ضلع مثلث معلوم باشد، تعيين مجموع دکمه‌هاي آن ساده است. کافي خواهد‌بود، که آن را با تمام اعداد طبيعي متوالي کوچکتر از خود جمع کنيم. مثلا اگر تعداد دکمه‌ها در يک ضلع 5 تا باشد، شمارکل دکمه‌ها1+2+3+4+5 يعني 15تا خواهد‌بود.
ب ـ عددهاي مربعي: اين بار دکمه‌ها را در سطرها و ستونهاي مساوي کنار هم قرار مي‌دهيم. تا يک مربع تشکيل شود .با توجه به شکلهاي مربوطه معلوم مي‌گردد. که تعداد دکمه‌ها در آنهاـ به ترتيب ـ مساوي باتوان دوم اعداد طبيعي 1و 2و 3و 4و … خواهد‌بود.
در اينجا، با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در يک ضلع. تعداد کل آنها در مربع معلوم خواهد بود. و اعداد مربعي عبارت از توان دوم اعداد طبيعي متوالي است، که عبارتند از:
…
،144، 121،100،117،92،70،51،35،22،12،5،1
ج- عددهاي به صورت پنج ضلعي : با يک نظر به سومين سطر از جدول متوجه مي شويد که اعداد مخمسي نيز عبارتند از:
1,5,12,22,35,51,70,92,117,145,176,…
رياضيدانان محاسبه کرده‌اند، که در اينجا نيز با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در يک ضلع، تعداد دکمه‌هاي به کار رفته درکل آن معلوم مي‌گردد، کافي است، شمار دکمه‌هايي را که در يک ضلع واقعند، به توان دوم برسانيد، و آن را با تمام اعداد طبيعي و متوالي پايين‌تر از خود جمع کنيد. مثلا محاسبه‌ي دکمه‌هاي به کار رفته در آخرين پنج ضلعي جدول چنين است: 1+2+3+4+52، که مساوي 35مي‌شود. و هر گاه بخواهيم يک عدد مخمسي پيدا کنيم، که يک ضلع شامل 8 واحد شود، بايد چنين کنيم:
1+2+3+4+5+6+7+82که حاصل 92مي‌شود.
دـ اعداد شش ضلعي: اعداد شش ضلعي نيز با توجه به شکل عبارتند از:
…، 231، 190، 153، 120، 91، 66، 45، 28، 15، 6، 1
در اينجا نيز هر عدد به صورت شش ضلعي، برابر است، با تعداد واحدهاي آن در يک ضلع، به اضافه‌ي چهار برابر عدد مثلثي رديف قبل از آن. به عنوان مثال، در آخرين شکل مربوط به شش ضلعي، در يک ضلع 5 دکمه وجود‌دارد.و مي‌‌دانيم که چهارمين عدد‌مثلثي 10 است. پس مي‌توان نوشت: 10×4+5، که نتيجه 45دکمه مي‌‌شود. حالا شما مي‌دانيد که مثلاّ عدد شش ضلعي 231 چگونه به دست آمده است.
ه_ عددهاي هفت ضلعي و هشت ضلعي: اکنون نوبت شماست، که با توجه به اعداد چند ضلعي قبلي، اولاّ طرز تشکيل اعداد مربوط به آنها را معين کنيد. ثانياّ با معلوم بودن تعداد واحدهاي يک ضلع از هر کدام چند ضلعي مربوط به آن را هم بيابيد.

اعداد اول

تعريف:عدد طبيعي p>1,pرا اول مي نامند به شرطي که تنها مقسوم عليه هاي مثبت آن 1وp باشند. اگرعددي طبيعي وبزرگتر از 1اول نباشد مرکب است.
قضيه 1: تعداد اعداد اول نامتناهي است.
برهان: حکم را به روشي که منسوب به اقليدس است اثبات مي کنيم: فرض کنيد تعداد اعداد اول متناهي و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب اين اعداد به علاوه ي 1 را در نظر بگيريد. اين عدد مقسوم عليهي غير از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
(البته شايان ذکر است که اين قضيه اثبات هاي گوناگوني دارد که ما ساده ترين آنها را انتخاب کرديم اگر مايليد مي توانيد اثبات هاي ديگر آن را بياوريد.)
قضيه 2:قضيه ي اساسي حساب: هر عدد طبيعي بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادي اول نوشت.
قضيه 3: قضيه چپيشف:اگر n عددي طبيعي و بزرگتر از 2 باشد, حتما” بين n و 2n عدد اولي وجود دارد.
منبع:http://www.academist.ir
/س