اين مسيله را همه ما تجربه کرده ايم اما شايد هيچ کدام از ما به طور جدي روي آن فکر نکرده باشيم.
اگر ورق را هر بار طوري تا کنيد که اندازه آن نصف شود بيش از 7 يا 8 بار نمي توانيد آن را تا کنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعي کرده باشيد که آن را امتحان کنيد و متوجه شده باشيد که تا کردن کاغذ بيش از7 يا 8 بار بسيار سخت است. آيا مي توان گفت که اين اعداد يک محدوديت مستدل و عمومي براي تا کردن کاغذ هستند؟
فرض کنيد شما کاغذي را انتخاب کرده ايد که داراي پهناي w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتي به جايي برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت.
با هر تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر مي شود و پهناي آن نصف خواهد شد. يعني بعد از N بار تا کردن ضخامت 2n خواهد بود و البته مشخص است که پهنا 0.5n مي شود
اگر با کاغذي به پهناي 11cm و ضخامت 0.002cm اين کار را انجام دهيد بعد از 7 بار تا کردن نسبت t/w برابر 1/6 مي شود. اين بدان معنيست که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر مي شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر اين کاغذ را 50 بار بزرگتر کنيد شايد بتوانيد آن را تا 10 بار هم تا کنيد.
اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنيد ممکن است تعداد دفعات بيشتري بتوانيد به تا کردن کاغذ ادامه دهيد. در اين صورت هر بارضخامت دو برابر مي شود در صورتي که پهنا هر دو دفعه يک بار نصف مي شود.
چندين سال پيش هنگامي که بريتني گاليوان در دبيرستان درس مي خواند با اين مسيله رو به رو شد که چگونه کاغذي را 12 بار تا کند . او بايد براي گرفتن نمره از يکي از کلاسهايش اين مسيله را حل مي کرد. بعد از آزمايش راه هاي مختلف او موفق شد که ورقه نازکي از طلا را 12 بار تا کند. اما مسيله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.
گاليوان بر روي معادله تعداد دفعاتي که مي توان يک کاغذ با اندازه معين را تا کرد کار کرد.
که در آن L کمترين درازاي کاغذ، t ميزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتي است که مي توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L بايد يکسان باشد.
براي يک طول و ضخامت معين عبارت *******بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تا کردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع مي کنيم و به همين ترتيب به رشته اي از اعداد به اين صورت مي رسيم:
0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .
اين به اين معني است که در تاي دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذي که در تاي اول از دست مي رود از دست خواهد رفت.
گاليوان در کتابي با نام ((Historical Society of Pomona Valley)) چگونگي به دست آوردن اين معادله و تلاشش براي حل مشکل را توضيح داده است. بالاخره در June 2002 گاليوان يک کاغذ بزرگ را 12بار تا کرد.
راستي اگر از ديد ديگري مسيله را نگاه کنيم باز هم جالب خواهد بود. منظورم اين است که اگر تا کردن کاغذ را با ارتفاع بسنجيم بعد از 10 بار تا کردن ضخامت کاغذ بدست آمده 1024 برابر حالت اوليه مي شود و در مرحله 11 ام2048 و در مرحله 12 ام 4096
يعني در مرحله دوازدهم بايد 4096 برگ را تا کنيم که ضخامتي برابر با حدود 50 سانتي متر که کار خيلي دشوار و تقريبا ناممکن است.
منبع:http://www.academist.ir
/س