مقدمه

محاسبه مکان يک شيء و تصوير متناظر آن در عدسيها معمولا بدون رجوع به بزرگنمايي تصوير انجام مي‌گيرد. هر چند ، در عمل هنگام ايجاد تصاوير حقيقي ، اين بزرگنمايي ، يعني نسبت طول تصوير به طول جسم است که مشخص مي‌کند تصوير ايجاد شده از نظر اندازه مناسب است يا خير. همچنين ، اگر فاصله‌ها در محدوده فاصله کانوني و معادله به عنوان تابعي از بزرگنمايي نوشته شود. تخمينهاي سريع يا فاصله کانوني و معادله به عنوان تابعي از بزرگنمايي نوشته شود. تخمينهاي سريع يا محاسبات سر انگشتي و ذهني معمولا سريعتر صورت مي‌گيرند.

بزرگنمايي

بزرگنمايي به صورت زير تعريف مي‌شود:
طول شيء / طول تصوير = M
از تشابهات دو مثلث ABD و CBG حاصل از رسم پرتوهاي فرودي و عبوري خواهيم داشت:(معادله 1)
M = I/O = q/p
از حالتهاي بسيار رايج ، ثبت تصوير روي فيلمي به ابعاد 36×24 ميليمتر است. به عنوان مثال فرض کنيد مي‌خواهيم تصوير عمارت بلندي به طول 30 متر را روي يک فيلم 30 ميليمتري قرار دهيم. به عبارت ديگر ، بزرگنمايي بايد چنين باشد:
M = I/O = 30/30000 mm = 1/1000

معادله گاوسي

رابطه بين شيء تا عدسي و تصوير تا عدسي براي عدسيهاي نازک توسط کارل فردريش گاوس (1855-1777) در قرن نوزدهم ارائه گرديد. اين رابطه چنين است:(معادله 2)
f-1 = 1/p + 1/q
که f فاصله کانوني عدسي p فاصله شيء تا عدسي p فاصله تصوير تا عدسي است. اما براي تخمين سريع يا محاسبه ذهني ، شايد در اين رابطه مقادير معکوس زياد مناسب نباشند. اگرمعادله (2) را در q ضرب کنيم، خواهيم داشت:(معادله 3)
q/f = q/p + q/q
q/r فاصله تصوير اندازه گيري شده برحسب فاصله کانوني q/p بزرگنمايي M و q/r برابر با 1 است. با جاگذاري q بجاي q/r و M بجاي q/p خواهيم داشت:(معادله 4)
Q = M +1
به عبارت ديگر ، فاصله تصوير (تا عدسي) ، (M+1) برابر فاصله کانوني است. به همين ترتيب مي‌توانيم P يعني فاصله شيء اندازه گيري شده بر حسب فاصله کانوني را چنين نمايش دهيم:
p = 1/M + 1

معادله نيوتن

در سالهاي آغازين قرذن هجدهم ، ايزاک نيوتن (1727-1642) رابطه‌اي براي عدسيها نوشت که در آن فاصله شيء و تصوير نه عدسي بلکه دو کانون F و 'F اندازه گيري مي‌شوند، همانطور که در شکل نشان داده شده است. نيوتن در کتاب "اپتيک" خود اين رابطه را بدون توضيح چنين نوشته بود:
'x/f = f/x
وي در سالهاي بعد استدلال کامل براي آن نيز ارائه داد. با مراجعه به شکل پيداست که اين کميتها مربوط به تشابه دو مثلث هستند. مثلثهاي قائم الزاويه ADF و BHF باهم متشابهند. همين طور مثلثهاي قائم الزاويه 'CGF و 'BEF نيز باهم متشابهند. از طرفي در شکل داريم: AD = BE = 0 و CG=BH=1 که نسبت تناسب آنها نيز توسط نيوتن ارائه شد. کتابهاي درسي عصر حاضر ، اين معادله را معمولا بصورت زير مي‌نويسند:(معادله 5)
'f2 = xx
که مي‌توان x و 'x را به ترتيب فاصله شيء تا کانون و تصوير تا کانون متناظر ناميد. معادله نيوتن بيش از يک قرن ، پيشتر از معادله گاوس ارائه شده بود. در سالهاي اخير ، برخي کتابهاي درسي اين معادله را فقط بصورت يک تمرين مطرح مي‌سازند و از دانش آموزان مي‌خواهند که آن را از معادله گاوس بدست آورد، يا آنکه اصلا به آن اشاره‌اي نمي‌کنند. دو طرف معادله (5) را بر f2 تقسيم مي‌کنيم، خواهيم داشت:
1 = xx'/ff
که x/f و x'/f فاصله‌هاي جسم و تصوير بر حسب فاصله کانوني است. مناسب است که اين عبارتها را به ترتيب با نمادهاي x و 'x نمايش دهيم:(معادله 6)
'I = xx
معادله (6) نکته جالب و مفيدي را آشکار مي‌سازد و آن اين است که فاصله جسم برحسب فاصله کانوني ، x ، و فاصله تصوير برحسب فاصله کانوني ، 'x ، کميتهايي هستند که با هم نسبت عکس دارند. از معادله‌هاي (3) و (4) مي‌توان نوشت:(معادله 7)
q/f = M + 1
با جاگذاري ('f+x) براي q ، معادله (7) خواهد شد:
f + x')/f = M + 1)
پس از ساده شدن مي شود:
1 + x'/f + 1 = M
x'/f = M
با جاگذاري 'x در سمت چپ معادله فوق ، خواهيم داشت:(معادله 8)
x' = M
مي‌بينيم که معادله نيوتن براي عدسي مي‌تواند از معادله گاوسي مناسبتر باشد، چون فاصله تصوير بر حسب فاصله کانوني از نظر عددي برابر با بزرگنمايي عدسي مي‌شود. به همين ترتيب فاصله شيء بر حسب فاصله کانوني برابر عکس بزرگنماي مي‌شود:(معادله 9)
x = 1/M
به مثال تصوير برداري از عمارت 30 متري برگرديم. تصوير در 1000/1 فاصله کانوني نسبت به کانون متناظر ، 'F و پشت عدسي تشکيل مي‌شود. از آن سو ، شيء در 1000 برابر فاصله کانوني نسبت به کانون متناظر ، F ، جلوي عدسي قرار دارد. به عنوان مثالي ديگر ، دستگاه پروژکتور فيلم متحرک 35 ميليمتري را در نظر بگيريد. قاب تصوير 22×18 ميليمتر را اندازه مي‌گيرد، اما براي پروژکتور به هنگام فيلمبرداري ابعاد فيلم 17.8×20.9 ميليمتر مي‌شود. اگر فيلم بخواهد روي پرده‌اي به عرض 8 متر نمايش داده شود، در آن صورت بزرگنمايي تصوير خواهد شد: M = 8000/20.9 mm = 383
يعني فاصله تصوير بر حسب فاصله کانوني 383 برابر فاصله کانوني تا پرده مي‌شود. بنابراين ، مي‌بينيم که بيان فاصله‌هاي جسم و تصوير (بر حسب کانوني) به عنوان تابعي از بزرگنمايي راهي سريع و مستقيم براي تجسم رابطه‌ها در معادلات عدسي است. معادله نيوتن ، بويژه ، کاربرد ساده و مفيدي را در اين خصوص ارائه مي‌دهد.
منبع: دانشنامه ي رشد
/خ