نکته مورد توجه در اين مدل اين است که در حالت عادي کم‌تر پيش مي‌آيد که فردي به طور هم‌زمان بتواند هر دو مشتري خود را پيدا کند، بلکه پس از مدتي جستجو، مشتري اول را پيدا مي‌کند و پس از آن بايد به دنبال مشتري دوم بگردد. اين نکته در ابتدا ممکن است چندان جدي به نظر نرسد ولي خواهيد ديد که تأثير بسيار قابل توجهي در آمارها خواهد گذاشت.
مانند مدل بازاريابان فوق‌حرفه‌اي در اين مدل نيز سرعت رشد درخت گلدکويست مورد توجه ما نيست و به دنبال محاسبه زمان اشباع جامعه نيستيم. تنها فرض مي‌کنيم که در هر مقطع زماني، زمان پيدا کردن يک مشتري، براي همه افراد، مقداري ثابت است که البته ممکن است اين مقدار ثابت در مقاطع مختلف زماني تغيير کند؛ در ابتدا که تنها تعداد اندکي آلوده شده‌اند يافتن يک مشتري بسيار ساده‌تر از مقطعي است که جمعيت انبوهي وارد درخت گلدکويست شده‌اند.

شکل مقابل مراحل اوليه رشد درخت گلدکويست را نشان مي‌دهد. در مرحله اول رأس درخت اولين مشتري را پيدا مي‌کند. در ادامه، نه تنها رأس بالايي به دنبال مشتري دوم خود مي‌گردد، بلکه مشتري قبلي نيز در جستجوي اولين طعمه خود است. لذا در مرحله دوم، دو نفر جديد، همان طور که در شکل مي‌بينيد، به درخت اضافه مي‌شوند. اکنون اولين فرد دو بازوي خود را تکميل کرده است و ديگر از طريق وي کسي به درخت اضافه نمي‌شود و لذا در اين درخت 4 رأسه، سه نفر به دنبال مشتري هستند و در نتيجه در مرحله بعد درخت ما 7 رأس خواهد داشت.
اگر تا چند مرحله ديگر رشد درخت را بررسي کنيد مي‌بينيد که تعداد افراد آلوده در مراحل مختلف به اين صورت است.
1، 2، 4، 7، 12، 20، 33، 54، …
براي بررسي دقيق‌تر درخت مورد بحث تعداد رأس‌ها در مرحله nرا مي‌ناميم. در اين صورت برابر 1، و برابر 2 است. با اندکي توجه مي‌توان رابطه‌اي بازگشتي براي اين دنباله به دست آورد؛ دو مشتري‌اي که توسط نفر اول وارد بازي شده‌اند يکي يک مرحله و ديگري دو مرحله از رأس اولي عقب‌ترند، و لذا درختي که در مرحله n ام زير آن دو تشکيل مي‌شود دقيقاً مشابه درخت اصلي در يک مرحله پيش و درخت اصلي در دو مرحله پيش است. نتيجه اين که در مرحله n ام در بازوي راست رأس بالايي نفر و در بازوي چپ نفر قرار دارد. اگر رأس بالايي را هم در نظر بگيريم رابطه بازگشتي زير به دست مي‌آيد.

به کمک اين رابطه مي‌توانيم تعداد اعضاي درخت گلدکويست را به دست آوريم. اگر دو طرف تساوي اخير را با يک جمع کنيم و به علاوه (1 +  ) را بناميم، به رابطه زير مي‌رسيم:

اگر با دنباله معروف فيبوناتچي آشنا باشيد مي‌دانيد که در آن‌جا نيز هر جمله دنباله برابر جمع دو جمله قبلي است. تفاوت دنباله Pn و دنباله فيبوناتچي ناشي از تفاوت در دو جمله اول است؛ 0P برابر 2، و 1P برابر 3 است، در حالي که 0F و 1F هر دو برابر 1 اند. پس آيا ارتباطي بين جمله‌هاي دنباله Pn و جمله‌هاي دنباله فيبوناتچي وجود ندارد؟ اجازه دهيد نگاهي به چند جمله اول هر دو دنباله بيندازيم.
8 7 6 5 4 3 2 1 0 n
89 55 34 21 13 8 5 3 2 Pn
34 21 13 8 5 3 2 1 1 Fn
اکنون به سادگي مي‌توان ديد که Pn در واقع همان دنباله فيبوناتچي است که دو جمله اول آن حذف شده است، يعني
Pn = Fn+2
و در نتيجه
Sn = Fn+2 - 1
تا اين‌جا توانستيم تعداد افراد آلوده در مرحله n را به دست آوريم. اکنون سؤال اين است که در هر مرحله وضعيت تعادل افراد (يعني مينيمم تعداد زيردست‌هاي راست و تعداد زيردست‌هاي چپ) چگونه است؟
جواب اين سؤال در مورد شروع‌کننده درخت تلويحاً داده شده است. دو بازوي اين فرد شامل 1Sn- نفر و 2Sn- نفر است و در نتيجه تعادلش 2Sn- است که طبق محاسبات انجام شده برابر است با 1 - Fn.
با توجه به اين که هر عضو ديگر درخت نيز وضعيتي شبيه نفر اول در چند مرحله قبل دارد، تعادل وي نيز به شکل 1 – Fk است که در آن k برابر تعداد مراحلي است که پس از اتصال وي به درخت طي شده است. حال مي‌خواهيم بفهميم در مرحله n ام چند نفر چنين تعادلي دارند؟
در لحظه ورودِ آن عضو نوعي، n – k مرحله درخت رشد کرده است و در نتيجه، در آن مقطع، تعداد افراد آلوده از Sn-k-1 به Sn-k رسيده است و لذا Sn-k-1 - Sn-k نفر به درخت اضافه شده‌اند. با در نظر گرفتن مطالب بالا اين مقدار برابر است با
(Fn-k+2 - 1) - (Fn-k+1 - 1)
و به عبارت ديگر Fn-k.
پس تا اينجا نشان داديم که در مدل ارايه شده در مرحله n ام Fn-k نفر تعادلشان برابر 1 – Fk است. البته عبارت اخير در يک مورد درست نيست؛ به اين نکته توجه کنيد که تعادل هر فرد در ابتداي ورود به بازي و هم‌چنين پس از گذشت يک مرحله صفر است (F0 - 1 = F1 - 1 = 0) و لذا تعداد کساني که تعادلشان صفر است برابر است با Fn + Fn-1 که همان Fn+1 است. در مراحل بعدي، پس از گذشت هر مرحله، تعادل افزايش پيدا خواهد کرد. در نتيجه عبارت مورد بحث براي k هاي بزرگ‌تر از يک، صادق است.
به بيان ديگر در مرحله n ام نسبت کساني که تعادلشان صفر است برابر است با
(Fn+2 - 1)/ Fn+1
و نسبت کساني که تعادلشان 1 – Fk است (1 < k)، برابر است با
(Fn+2 - 1)/ Fn-k
اين نسبت‌ها هنوز توصيف روشني از وضعيت بازي ارايه نمي‌کنند. گزاره زير به ما کمک خواهد کرد که به مدل مورد بحث را بهتر تحليل کنيم.
گزاره: وقتي n به بي‌نهايت ميل کند، Fn/ Fn+1 به ?ميل مي‌کند که ?، “عدد طلايي”، يعني ريشه مثبت معادله درجه دو زير است.
?2 – ? – 1 = 0
62 1/ 5)/2 1+) = ?
اثبات اين گزاره چندان مشکل نيست. اگر هم ايده‌اي براي اثباتش نداريد بد نيست نسبت جمله‌هاي متوالي دنباله فيبوناتچي را محاسبه کنيد و “ببينيد” که آيا به ? ميل مي‌کند يا خير!
گزاره مذکور نتيجه‌اي دارد که به کار مي‌آيد.
نتيجه: براي هر k، وقتي n به بي‌نهايت ميل کند، Fn/ Fn+k به ?Kميل مي‌کند.
براي اثبات اين موضوع کافي است توجه کنيد که کسر مذکور با عبارت زير برابر است.
Fn/ Fn+1 … F n+k-2 / Fn+k-1 Fn+k-1/ Fn+k
اکنون مي‌توانيم توصيف بهتري از وضعيت مشتريان گلدکويست ارايه دهيم. براي n هاي به اندازه کافي بزرگ، ?-1 نسبت افرادي است که تعادلشان صفر است و نسبت کساني که تعادلشان 1 – Fk است (1 < k)، برابر است با ?-K-2. جدول زير که در آن از مقدار تقريبي ? استفاده شده است گوياتر است.
تعادل نسبت افرادي که تعادلشان برابر اين مقدار است نسبت افرادي که تعادلشان کم‌تر يا مساوي اين مقدار است
0 68.1درصد 68.1درصد
1 14.6درصد 76.4درصد
2 9.0درصد 85.4درصد
4 5.6درصد 91.0درصد
7 3.4درصد 94.4درصد
12 2.1درصد 96.6درصد
20 1.3درصد 97.9درصد
33 0.8درصد 98.7درصد
54 0.5درصد 99.2درصد
88 0.3درصد 99.5درصد
143 0.2درصد 99.7درصد
232 0.1درصد 99.8درصد
اولين پورسانت هنگامي داده مي‌شود که تعادل فرد به 3 برسد. پس طبق محاسبات انجام شده هميشه در حدود 5/48 درصد از کساني که وارد اين بازي شده‌اند هيچ پورسانتي دريافت نکرده‌اند!
در اين حالت که درخت اعضاء کم و بيش منظم رشد کند. با توجه به پيچيدگي محاسبات تحليلي، بايد به سراغ شبيه‌سازي کامپيوتري رفت.نتايج حاصل از يک شبيه‌سازي نسبتاً خوب، در زير آمده است:
کساني که 560 دلار ضرر کرده‌اند تقريباً 6/66 درصد
کساني که 510 دلار ضرر کرده‌اند تقريباً 4/17 درصد
کساني که 260 دلار ضرر کرده‌اند تقريباً 7/7 درصد
کساني که 10 دلار ضرر کرده‌اند تقريباً 6/2
کساني که سود کرده‌اند تقريباً 7/5
در اين حالت هر مال‌باخته، به طور متوسط، بيش از 9/481 دلار از دست داده است و در مجموع بيش از 240 ميليون دلار وارد جيب کلاه‌برداران شده است!
البته توجه کنيد که اين اعداد و ارقام در حالتي به دست آمد که درخت افراد آلوده کاملاً منظم رشد کرد. در حالت واقعي، که رشد درخت منظم نيست، وضع بسيار وخيم‌تر از اين خواهد شد
منبع:http://www.academist.ir