مقدمه

علومي که از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تکميل شد، از قرون يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود. فلسفه ي طبيعي توسط کوپرنيک، برونو، کپلر و گاليله به چالش کشيده شد و از آن ميان فيزيک نيوتني بيرون آمد. چون کليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و کنکاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان کنجکاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا کليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيک از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يکي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود که آن هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد.
در هندسه ي اقليدسي يکسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي کردند. اما اصل پنجم چندان بديهي به نظر نمي رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يک نقطه خارج از يک خط، يک خط و تنها يک خط مي توان موازي با خط مفروض رسم کرد. برخي از رياضيدانان مدعي بودند که اين اصل را مي توان به عنوان يک قضيه ثابت کرد. در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي کردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات “اصل توازي” مبتکر مفهوم عميقي در هندسه شد. در تلاش براي اثبات اين اصل، خيام گزاره هايي را بيان کرد که کاملا مطابق گزاره هايي بود که چند قرن بعد توسط واليس و ساکري رياضيدانان اروپايي بيان شد و راه را براي ظهور هندسه هاي نااقليدسي در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولي متفاوت با آن بيان کردند و هندسه هاي نااقليدسي شکل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ي طبيعي رياضيات نيز از انحصار يوناني خارج و در مسيري جديد قرار گرفت و آزاد انديشي در رياضيات آغاز گرديد.

1-اصطلاحات بنيادي رياضيات

طي قرنهاي متمادي رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه ي خود از قبيل نقطه و خط و عدد را همچون کميت هايي در نظر مي گرفتند که در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات همواره همه ي کوششهاي را که براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با شکست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نکته بر رياضيدانان قرن نوزدهم آشکار گرديد که تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر اصولاً داراي معنايي باشند.
بنابراين، اينکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است و نه احتياجي به اين بحث هست. يک وقت براتراند راسل گفته بود که رياضيات موضوعي است که در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آنچه که مي گوييم درست است.
دليل آن اين است که برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممکن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنکه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آنکه بگوييم دو نقطه فقط يک خط را مشخص مي کند، مي توانيم بگوييم دو آلفا يک بتا را مشخص مي کند. با وجود تغييري که در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا که دليل هاي درست به شکل نمودار بسته نيستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند.
بنابراين، رياضيات تمريني است کاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احکامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتي از معني فرضها يا راست بودن آنها نيست. اين ديدگاه (صوريگرايي) با عقيده ي کهن تري که رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و کشف هندسه هاي نااقليدسي بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين کشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشت.

2- اشکالات وارد بر هندسه اقليدسي

هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شکل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر کشيد.
اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ي زواياي قايمه با هم مساوي اند.
اصل پنجم - از يک نقطه خارج يک خط، يک خط و و تنها يک خط مي توان موازي با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يک قضيه شباهت داشت تا به يک اصل. بنابراين طبيعي بود که لزوم واقعي آن به عنوان يک اصل مورد سيوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد که شايد بتوان آن را به عنوان يک قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج کرد، يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد.
در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فورکوش بويويي و … تلاش کردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرنر و آن را به عنوان يک قضيه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثباط خود به کار مي بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد.
يانوش بويويي يکي از رياضيدانان جواني بود که در اين را تلاش مي کرد. پدر وي نيز رياضيداني بود که سالها در اين اين مسير تلاش کرده بود .
و طي نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش کني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به کام نابودي فرو برده است، التماس مي کنم دانش موازيها را رها کني.
ولي يانوش جوان از اخطار پدير نهرسيد، زيرا که انديشه ي کاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض کرد نقيض اصل توازي اقليدس، حکم بي معني اي نيست. وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضميمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه اي از آن را براي گايوس فرستاد. بعد معلوم شد که گايوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکي در سال 1829 کشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در بولتن کازان، دو سال قبل از بويي منتشر کرده است. و بدين ترتيب کشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويويي و لباچفسکي ثبت گرديد.

3- هندسه هاي نا اقليدسي

اساساً هندسه نااقليدسي چيست؟ هر هندسه اي غير از اقليدسي را نا اقليدسي مي نامند. از اين گونه هندسه ها تا به حال زياد شناخته شده است. اختلاف بين هندسه هاي نا اقليدسي و اقليدسي تنها در اصل توازي است. در هندسه اقليدسي به ازاي هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن يک خط مي توان موازي با آن رسم کرد.
نقيض اين اصل را به دو صورت مي توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازي که از يک نقطه نا واقع بر آن، مي توان رسم کرد، بيش از يکي است. و يا اصلاً خطوط موازي وجود ندارند. با توجه به اين دو نقيض، هندسه هاي نا اقليدسي را مي توان به دو گروه تقسيم کرد.

يک - هندسه هاي هذلولوي

هندسه هاي هذلولوي توسط بويويي و لباچفسکي بطور مستقل و همزمان کشف گرديد.
اصل توازي هندسه هذلولوي - از يک خط و يک نقطه ي نا واقع بر آن دست کم دو خط موازي با خط مفروض مي توان رسم کرد.

دو - هندسه هاي بيضوي

در سال 1854 فريدريش برنهارد ريمان نشان داد که اگر نامتناهي بودن خط مستقيم کنار گذاشته شود و صرفاً بي کرانگي آن مورد پذيرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعديل جزيي اصول موضوعه ديگر، هندسه سازگار نااقليدسي ديگري را مي توان به دست آورد. پس از اين تغييرات اصل توازي هندسه بيضوي بصورت زير ارايه گرديد.
اصل توازي هندسه بيضوي - از يک نقطه ناواقع بر يک خط نمي توان خطي به موازات خط مفروض رسم کرد.
يعني در هندسه بيضوي، خطوط موازي وجود ندارد. با تجسم سطح يک کره مي توان سطحي شبيه سطح بيضوي در نظر گرفت. اين سطح کروي را مشابه يک صفحه در نظر مي گيرند. در اينجا خطوط با دايره هاي عظميه کره نمايش داده مي شوند. بنابراين خط ژيودزيک يا مساحتي در هندسه بيضوي بخشي از يک دايره عظيمه است.
در هندسه بيضوي مجموع زواياي يک مثلث بيشتر از 180 درجه است. در هندسه بيضوي با حرکت از يک نقطه و پيمودن يک خط مستقيم در آن صفحه، مي توان به نقطه ي اول باز گشت. همچنين مي توان ديد که در هندسه بيضوي نسبت محيط يک دايره به قطر آن همواره کمتر از عدد پي است.

4- انحناي سطح يا انحناي گايوسي

اگر خط را راست فرض کنيم نه خميده، چنانچه ناگزير باشيم يک انحناي عددي k به خطي نسبت دهيم براي خط راست خواهيم داشت k=o انحناي يک دايره به شعاع r برابر است با k=1/r.
تعريف مي کنند. همچنين منحني هموار، منحني اي است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پيوسته تغيير کند. به عبارت ديگر منحني هموار يعني در تمام نقاطش مشتق پذير باشد.
براي به دست آوردن انحناي يک منحني در يک نقطه، دايره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحناي منحني در آن نقطه برابر با انحناي دايره ي بوسان در آن نقطه است. دايره بوسان در يک نقطه از منحني، دايره اي است که در آن نقطه با منحني بيشترين تماس را دارد. توجه شود که براي خط راست شعاع دايره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بينهايت است.
براي تعيين انحناي يک سطح در يک نقطه، دو خط متقاطع مساحتي در دو جهت اصلي در آن نقطه انتخاب کرده و انحناي اين دو خط را در آن نقاط تعيين مي کنيم. فرض کنيم انحناي اين دو خط
k1=1/R1 and k2=1/R2
باشند. آنگاه انحناي سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب اين دو انحنا، يعني :
k=1/R1R2
انحناي صفحه ي اقليدسي صفر است. همچنين انحناي استوانه صفر است:
k=o
براي سطح هذلولوي همواره انحناي سطح منفي است :
k<>
براي سطح بيضوي همواره انحنا مثبت است :
k>o
در جدول زير هر سه هندسه ها با يکديگر مقايسه شده اند:

نوع هندسه	تعداد خطوط موازي	مجموع زواياي مثللث	نسبت محيط به قطر دايره	اندازه انحنا
اقليدسي	يک	180	عدد پي	صفر
هذلولوي	بينهايت	< 180	> عدد پي	منفي
بيضوي	صفر	> 180	< عدد پي	مثبت

5- مفهوم و درک شهودي انحناي فضا

سيوال اساسي اين است که کدام يک از اين هندسه هاي اقليدسي يا نا اقليدسي درست است؟
پاسخ صريح و روشن اين است که بايد انحناي يک سطح را تعيين کنيم تا مشخص شود کدام يک درست است. بهترين دانشي کا مي تواند در شناخت نوع هندسه ي يک سطح مورد استفاده و استناد قرار گيرد، فيزيک است. يک صفحه ي کاغذ برداريد و در روي آن دو خط متقاطع رسم کنيد. سپس انحناي اين خطوط را در آن نقطه تعيين کرده و با توجه به تعريف انحناي سطح حاصلضرب آن را به دست مي آوريم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقليدسي است، اگر منفي شد مي گوييم صفحه هذلولوي است و در صورتي که مثبت شود، ادعا مي کنيم که صفحه بيضوي است .
در کارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يک سد بر روي رودخانه، انحناي سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه اقليدسي استفاده کرده اند و با هيچگونه مشکلي هم مواجه نشدند. يا براي نقشه برداري از سطح يک کشور اصول هندسه ي اقليدسي را بکار مي برند و فراز و نشيب نقاط مختلف آن را مشخص مي کنند. در اين محاسبات ما مي توانيم از خطکش هايي که در آزمايشگاه يا کارخانه ها ساخته مي شود، استفاده کنيم. حال سيوال اين است که اگر خطکش مورد استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد کرد؟ اما مي دانيم از هر ماده اي که براي ساختن خطکش استفاده کنيم، شرايط فيزيکي محيط بر روي آن اثر مي گذارد. البته با توجه با تاثير محيط بر روي خطکش ما تلاش مي کنيم از بهترين ماده ي ممکن استفاده کنيم. بهمين دليل چوب از لاستيک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما براي مصافتهاي دور نظير فواصل نجومي از چه خطکشي (متري) مي توانيم استفاده کنيم؟ طبيعي است که در اينجا هيچ خطکشي وجود ندارد که بتوانيم با استفاده از آن فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. بنابراين بايد به ساير امکاناتي توجه کنيم که در عمل قابل استفاده است. اما در اينجا چه امکاناتي داريم؟ بهترين ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطيسي است. اگر مسير نور در فضا خط مستقيم باشد، در اينصورت با جرت مي توانيم ادعا کنيم که فضا اقليدسي است. براي پي بردن به نوع انحناي فضا بايد مسير پرتو نوري را مورد بررسي قرار دهيم .
اما تجربه نشان مي دهد که مسير نور هنگام عبور از کنار ماده يعني زماني که از يک ميدان گرانشي عبور مي کند، خط مستقيم نيست، بلکه منحني است. بنابراين فضاي اطراف اجسام اقليدسي نيست. به عبارت ديگر ساختار هندسي فضا نااقليدسي است.
منبع:http://www.academist.ir