1. زماني ، در دوره هاي نخستين شکل گيري مفهوم عدد ، براي نام بردن سه درخت و سه گوسفند ، از دو واژه ي مختلف استفاده مي کردند و وقتي مي خواستند از سه مرد صحبت کنند ، واژه ي سومي را به کار مي بردند و اين ، امري طبيعي بود : درخت به گوسفند و هيچ کدام از آن ها به مرد شباهتي نداشت .
بسيار طول کشيد تا بشر توانست وجه مشترکي بين « سه درخت » ، « سه گوسفند » و « سه مرد» پيدا کند و متوجه شود که در هر سه حالت با «تعدادي» برابر سر و کار دارد . ولي وقتي اين درک - يعني درک ” مقدار” و ” کميت ” – به وجود آمد و بشر به مفهوم «سه» (بدون اين که آن را وابسته به چيز مشخصي مثل « درخت » يا « نيزه» بکند) پي برد ، نخستين گام را در جهت ” انتزاع” برداشت .
علم ، بررسي هاي علمي و ذهن علمي ، بدون انتزاع ممکن نيست . علم ، در همان حال که روي پديده ها و فرآيندهاي مادي کار مي کند و طبيعت ( و هم جامعه ) آزمايشگاه بزرگ آن است ، براي پي بردن به قانون هاي حاکم بر طبيعت ( و جامعه ) چاره اي جز انتزاع ندارد
« درخت سيب » يا « درخت سپيدار » در طبيعت وجود دارند. ولي وقتي به طور کلي از « درخت » صحبت مي کنيم ، در واقع ويژگي مشترک بسياري از روييدني ها را در نظر گرفته ايم و به يک انتزاع دست زده ايم .
« رنگ زرد» يا « رنگ سرد» را مي توان در طبيعت مشاهده کرد ، ولي وقتي به طور کلي از واژه ي «رنگ» نام مي بريم ، به چنان ويژگي توجه داريم که در همه ي رنگ هاي موجود و قابل مشاهده ، مشترک است .
« کميت » ، « مقدار» ، « اندازه» و « تعداد» ، بيان هاي مختلفي از يک نوع ويژگي هستند که در مورد هر جسم مادي و بسياري از فرآيندهاي مادي مي تواند به کار رود .
وقتي از حجم کره ي زمين ، ميزان محصول ساليانه ي فلان کشت زار ، سرعت حرکت مريخ به دور خورشيد ، مقدار برق لازم براي حرکت قطار زير زميني و غير آن صحبت مي کنيم ، با همين ويژگي سر و کار داريم .
انتزاع ، در تحليل آخر ، نه به معناي جدا شدن از طبيعت ، بلکه براي شناخت دقيق تر و کامل تر قانون هاي حاکم بر طبيعت است.
رياضيات ، به طور عمده ، از راه انتزاع هاي متوالي ، به بررسي دو مفهوم « کميت » و «شکل» جسم هاي مادي مي پردازد .
در اين جا ، وقتي از کره صحبت مي شود ، بدون توجه به رنگ و جرم و دوام و وزن و ديگر ويژگي هاي جسم ، تمامي دقت روي شکل آن ( کروي بودن ) متمرکز مي شود و قانون مندي هايي که از اين جهت ، در آن وجود دارد ، مورد بررسي قرار مي گيرد .
2. وقتي مي نويسيم 5=3+2 ، هم با انتزاع سر و کار داريم و هم با قرارداد . از آن جا که نگفته ايم چه چيزهايي را با هم جمع کرده ايم ، يک انتزاع انجام داده ايم ، در اينجا با يک ويژگي کلي سر و کار داريم : از کنار هم گذاشتن « دو مداد» با « سه مداد» ، « پنج مداد»
به دست مي آيد ، همان طور که اگر « سه کيلومتر» راه را بعد از « دو کيلومتر » قبلي طي کنيد ، روي هم « پنج کيلومتر» راه رفته ايد .
ولي نشانه هاي « 2 » ، « 3 » ، « 5 » ، « + » و « = » ، نشانه هاي قراردادي هستند . اين که چرا نشانه ي « = » براي بيان
” برابري” به کار مي رود ، به رياضيات مربوط نيست !!! در اين مورد بايد به پژوهشي تاريخي دست زد و روشن کرد که چه « دليل هايي » سرانجام به اينجا رسيده است که در بين همه ي ملت هاي جهان ، آن را به مفهوم «برابري » بگيرند .
« = » يک نماد است ، نمادي براي بيان : برابري . همانطور که « 5 » هم يک نماد است ، نمادي براي بيان عدد ” پنج ” .
براي مطالعه ي رياضيات ، بايد نمادها ( يا قراردادها) را شناخت . شما تنها وقتي مي توانيد با نماد f(x) کار کنيد که معنا و تعريف ان را بدانيد .
a2 نمادي است و a2> نمادي ديگر و ، طبيعي است ، اگر «تعريف» و معناي آن ها را ندانيد ، نمي توانيد عمل هاي رياضي را با آن ها انجام دهيد .
يادداشت 1 :
يادآوري اين مطلب ضروري است که : در بسياري موردها ، رياضيات نمي تواند بدون توجه به ساير ويژگي هاي ماده ( يعني بدون توجه به ويژگي هايي از ماده ، که در دانش هاي ديگر مورد مطالعه قرار مي گيرند ) ، حکم هاي جزمي خود را در همه ي زمينه ها سازگار کند .
رياضي دان مي گويد 20 = 10+10 ، ولي شيمي دان در عمل مشاهده مي کند که از روي هم ريختن 10 ليتر آب با 10 ليتر الکل ، نه 20 ليتر ، بلکه 19 ليتر « آب و الکل » به دست مي آيد . در اين جا ، اگر به حجم واقعي محلول نظر داشته باشيم ، بايد با توجه به ويژگي هاي شيميايي اب و الکل بگوييم : 19 = 10 + 10 .
در رياضيات مقدماتي ، بدون هيچ ترديدي حکم مي کنيم 2 = 1 + 1 . ولي اگر منظور از اين «جمع» محاسبه ي نتيجه ي عمل هاي دو نيروي يک کيلوگرمي باشند که به طور عمود بر هم بر جسمي اثر مي کنند ، آن وقت ، نيروي « مجموع» ( منظور برآيند نيروها يا منتجه است ) ، به جاي 2 کيلوگرم برابر 4/1 کيلوگرم مي شود .
رياضي دان ، در همان حال که با نيروي انتزاع و با ياري گرفتن از نيروي قانون هاي دروني رياضيات ، جلو مي رود و « حقيقت هايي» را کشف مي کند ، بايد دايما به جهان واقع ، به طبيعت و جامعه ، مراجعه کند و هر جا لازم باشد ، نتيجه گيري هاي خود را با « واقعيت هاي موجود » تطبيق دهد .
يادداشت 2 :
ذهن آدمي چنان است که بدون دستگيره ي مادي نمي تواند درباره ي چيزي بينديشد و کار کند و ، به همين مناسبت ، هر وقت که انتزاعي انجام مي گيرد ، در واقع ، دستگيره اي مادي جانشين دستگيره ي مادي ديگر مي شود. وقتي با کسي که عدد نويسي نمي داند ، از سيصد و هفتاد و دو درخت صحبت کنيم ، تصور مبهمي از انبوهي درخت در ذهن او به وجود مي آيد ، ولي براي کسي که عدد نويسي را مي داند ، رقم هاي « 3 » ، « 7 » و «2 » در ذهن او ظاهر مي شوند و ، بدون اين که به مقدار واقعي 372 درخت توجه کند ، نماد 372 در ذهن او مجسم مي شود . در اين جا ، نماد نوشتني 372 ، همان دستگيره ي مادي است که جانشين « درخت ها » شده است .
3. براي تعريف ، از هيچ نمي توان آغاز کرد . هر تعريفي به ناچار بايد بر پايه ي تعريف هاي ساده تري استوار باشد . مثلا شما نمي توانيد ، عمل « جمع » را تعريف کنيد . بيان هايي از نوع « افزودن دو عدد به يکديگر » ، در واقع ، يک دور باطل است . زيرا کاري نکرده ايد جر اين که به جاي واژه ي « جمع» از واژه ي معادل « افزودن» استفاده کرده ايد . به اين ترتيب ، چاره اي نداريم جز اينکه « عمل جمع» را به همان صورتي که «حس» مي کنيم و کم و بيش همه ي ما درباره ي آن « تصوري» داريم ، بپذيريم. هر تلاشي براي تعريف « عمل جمع » سر آخر ، منجر به اين مي شود که بگوييم ” جمع يعني جمع ” !!!
ولي ، وقتي که « عمل جمع» را ، بدون تعريف ، بپذيريم ، ديگر مي توانيم عمل هاي « تفريق» و «ضرب» را به کمک آن تعريف کنيم :
a - b = c ، يعني اگر b را با c جمع کنيم a بدست مي آيد .
a * b = c ، يعني اگر b را a مرتبه با خودش جمع کنيم ، عدد c حاصل شود .
منبع:http://www.academist.ir/خ