هدف آموزشي فصل

در اين فصل مباني علم احتمال شرح داده شده است. مفاهيمي چون فضاي نمونه، پيشامد و نيز اصول شمارش و جايگشت ها و ترکيب ها بيان شده است. و نيز مفهوم احتمال، تابع احتمال، اصل موضوع احتمال شرطي استقلال دو پيشامد قانون و احتمال کل توضيح داده مي شود.

مفاهيم اوليه:

فضاي نمونه : اگر نتيجه آزمايشي معين نباشد ، اما همه ي برآمدهاي ممکن آن از قبل قابل پيش بيني باشد، مجموعه ي همه آنها را فضاي نمونه اي ناميم و آن را معمولا با S وهمچنين برآمدها را با e1,e2,… e: نشان ميدهيم:
بنابراين فضاي نمونه ايS:
و برآمدها e1,e2,… e:
پيشامد : زير مجموعه اي از فضاي نمونه اي را يک پيشامد ناميم
A,B,…
توجه شودکه: برآمدها (e) مي توانند به صورت يک نقطه تنها يا دو تايي مرتب ويا ... n تايي مرتب باشند :به مثالهاي زير توجه شود.
مثال :

5- فرض کنيد آزمايشي دردومرحله انجام شود.ابتدا سکه اي پرتاب مي شود.اگر خط بيايد، تاس پرتاب مي شود واگر شير بيايد ، سکه دوباره پرتاب مي شود.فضاي نمونه اي را تعريف کرده وپيشامدهاي زير را تعريف کنيد .
الف. آمدن شيردراولين پرتاب
ب. آمدن عددي فرد وقتي تاس پرتاب شود .

6- فرض کنيد سکه اي را آنقدر پرتاب مي کنيم تا اولين شير ظاهر شود .فضاي نمونه اي را مشخص کنيد .
حل : اين فضاي نمونه اي نامتناهي وليکن شمارا است . چنين فضاي نمونه اي را فضاي نمونه اي گسسته ناميم .
S={H,TH,TTH,TTTH,..}
اما مثال هاي 1 تا 5 ، داراي فضاي نمونه اي متناهي مي باشند .

اين فضاي نمونه اي ، يک فضاي پيوستار است . به عبارت ديگر چنين فضاي نمونه اي را ، فضاي نمونه از نوع پيوسته گوييم .فضاي نمونه پيوسته وقتي رخ مي دهد که برآمدهاي آزمايش ها ،اندازه گيري هايي با ويژگي هاي فيزيکي هستند که بر طبق مقياس هاي پيوسته اندازه گيري مي شوند . مانند : طول ، دما و ...مي توانيم بر اساس پيشامد ها ، ترکيبي از پيشامد ها را داشته باشيم.

ترکيب پيشامدها

7- پيشامد مطمئن : پيش آمدي که يقينا رخ دهد .
8- پيشامد ناممکن : پيشامدي که يقينا رخ ندهد .
9- تساوي : دو پيشامد E,Fرا برابر گوييم (E=F، هر گاه رخ دادن يکي مستلزم رخ دادن ديگري باشد .

مثال :فرض کنيد فرود هواپيماها بر اساس نظام سرويس دهي به ترتيب فرود مي باشد . پيشامدهاي را به صورت زير تعريف مي کنيم :
منتظر ماندن حداکثر3هواپيما :F منتظر ماندن حداقل2هواپيما : E
منتظر ماندن دقيقا2هواپيما : H در اين صورت تعريف کنيد:

حل :
پيشامد هاي زيررا تعريف مي کنيم:
الف. پيشامد منتظر ماندن حداکثر3هواپيما
ب. پيشامد منتظر ماندن حداقل4هواپيما

اکنون آماده ايم تا اصول موضوع احتمال را بيان کنيم .

اصول موضوع احتمال

فرض مي کنيم S فضاي نمونه اي يک آزمايش باشد . به هر پيشامد A از S عددي به نام احتمال وقوع A که با نماد p(A) نشان مي دهيم ، نسبت داده که در اصول موضوع زير صدق مي کند .

مثال :
سکه ي نااريبي را پرتاب مي کنيم . از آن جايي که سکه نااريب است ، بنابراين احتمال آمدن شير و خط با هم برابر است . در پرتاب اين سکه فضاي نمونه اي برابر است با : S={H,T}
چون وقوع پيشامدهاي {H},{T} با هم برابرند در اين صورت گوييم اين دو پيشامد هم احتمالند و مي نويسيم P({H})=P({T})
از طرفي اين دو پيشامد ناسازگارند ، پس :

مثال :

اندازه احتمال قابل قبول باشد .

قضايا :

داريم :

نتيجه :

مثال :
فرض کنيد 25% مردم يک شهر روزنامه A و 20% روزنامه B و 13% روزنامه C و 10% روزنامه هاي A,B و 8% روزنامه هاي A,C و 5% روزنامه هاي B,C و 4% همه ي روزنامه ها را مي خوانند . احتمال اين که شخصي به تصادف از بين مردم اين شهر انتخاب شود و هيچ يک از اين روزنامه ها را نخواند چقدر است ؟
حل :
فرض مي کنيم E و F و G به ترتيب پيشامدهاي خواندن روزنامه هاي A ، B و C باشند . پس پيشامد آن که شخصي حداقل

احتمال شرطي :

( قانون ضرب احتمال )
به محض آن که A و B مستقل از يکديگر باشند ، رابطه بالا به صورت ساده اي تبديل مي شود :

استقلال :

مثال :
فرض کنيد جعبه اي شامل 10 لامپ مي باشد که دربين آن ها 4 لامپ معيوب وجود دارد . دو لامپ پشت سر هم و بدون جايگذاري استخراج مي کنيم . احتمال اين که هر دو لامپ معيوب باشند چقدر است ؟
حل :

قانون احتمال کل – قضيه بيز :

گاهي اوقات به طور مستقيم نمي توانيم احتمال يک پيشامد مانند A را محاسبه کنيم . اما براي پيشامدي مانند B احتمالات

کل استفاده کنيم
اين قضيه به صورت زير بيان مي شود :


مثال :

يادآوري:

مثال: فرض مي کنيم به ترتيب 30% و 50% و 20% محصولات يک توليدي بوسيله ي سه دستگاه A ، B وC توليد مي شود . از طرفي معلوم شده است که به ترتيب 4% ، 5% و 3% اين توليدات ناقص مي باشد . اگر محصولي به تصادف انتخاب شود احتمال اين که معيوب باشد چقدر است ؟
حل :

احتمال پيشامد خراب بودن : p(D)

اکنون ممکن است اين سئوال را مطرح کنيم : احتمال آن که محصول انتخابي معيوب باشد و توسط دستگاه B توليد شده باشد چقدر است ؟
دراين حالت در حقيقت مي خواهيم p(B|D) را مورد نظر قرار دهيم دراين حالت از قضيه ي موسوم به قضيه بيز استفاده مي کنيم .

قضيه بيز :

مثال :
1- براي مثال قبل مطلوب است احتمال اينکه محصولي که به تصادف انتخاب مي شود و معيوب است ، متعلق به دستگاه C باشد .
حل :

2- فرض کنيد مي دانيم80% دانشجويان سال سوم و70% دانشجويان سال دوم و50% دانشجويان سال اول و30% دانشجويان پيش دانشگاهي ازکتابخانه استفاده مي کنند. اگرازهمه ي دانشجويان 30% پيش دانشگاهي ، 25% سال اول ، 25% سال دوم و20% سال سوم باشند ، در اينصورت چند درصد همه ي دانشجويان از کتابخانه ي مرکزي استفاده مي کنند ؟
حل :
دانشجويي که به تصادف انتخاب مي شود و از کتابخانه ي مرکزي استفاده مي کند :A
پيش دانشگاهي : F
سال اول :O
سال دوم :J
سال سوم :E

آناليز ترکيبي

مجموعه روش ها و تکنيک هايي که براي شمارش بکار مي روند ،
موضوع آناليز ترکيبي را تشکيل مي دهند .
يکي از موضوعات اساسي در آناليز ترکيبي اصل هاي جمع و ضرب است که در عين سادگي اهميت و کاربرد دارند . بعد از اين دو اصل ، موضوع ترتيب و ترکيب از موضوعات پرکاربردند که ما در اين قسمت خلاصه اي از آن ها را بيان مي کنيم .

اصل جمع

اگر يک عمل به m طريق و عمل ديگر به n طريق انجام شود ، در اين صورت يکي از دو عمل را مي توان به m+n طريق انجام داد .

بيان رياضي اصل جمع :

فرض کنيد مجموعه A داراي n عضور و مجموعه B داراي m عضو باشد .

تعميم اصل جمع

اصل ضرب

فرض کنيد عملي در دو مرحله انجام مي پذيرد . به طوري که مرحله اول را به n1 صورت و مرحله دوم به n2 صورت انجام داد . در اين صورت آن عمل به n1*n2 صورت امکان مي پذيرد .همين طور مي توان اصل ضرب را تعميم داد و بيان کرد : اگر عملي در k مرحله انجام شود ، به طوريکه مرحله اول n1 صورت و ... و مرحله k ام nk صورت انجام شود در اين صورت اين عمل به n1*n2*….*nk صورت انجام مي گيرد .
مثال :
براي انتخاب دو کتاب از دو رشته مختلف از بين 6 کتاب رياضي ، 7 کتاب ادبي ، 12 کتاب فلسفي انتخاب مي کنيم . چند انتخاب متفاوت خواهيم داشت ؟
حل :
کتاب ها ممکن است به صورت هاي: الف. رياضي و ادبي ب. رياضي و فلسفي ج. ادبي و فلسفي باشند ، که با توجه به بيان اصل ضرب خواهيم داشت :
الف. رياضي و ادبي 42=7×6
ب. رياضي و فلسفي 72=12×6
ج. ادبي و فلسفي 84=12×7
و بنابر اصل جمع در کل تعداد انتخاب ها برابر است با : 198=84+72+42

ترتيب

هدف ما از ترتيب ، انتخاب گروه هاي k تايي از ميان n عضو متمايز است : به طوري که n>k باشد . مثل انتخاب گروه هاي 3 تايي از ميان 5 عدد 2و4و5و7و9 به طوري که ارقام تکراري نباشند .

اين قضيه براي انتخاب گروه هاي r تايي مرتب از n شيء متمايز است .لازم به ذکر است که تمايز در اين جا به اين معناست که
1) مجموعه اشياء بکار رفته متمايز باشند
2) ترتيب قرار گرفتن اشياء متفاوت باشد .

ترکيب

براي انتخاب r شيء متمايز از n شيء متمايز از ترکيب استفاده مي کنيم.لازم است که يادآور شويم که تمايز در ترکيب فقط به اين معناست که مجموعه اشيائي که بکار رفته متمايز باشند .
ترکيب n شيء r به r

منابع
1-كتاب آمار و احتمال مهندسي جان فروند
2-http://daneshnameh.roshd.ir
3--http://bekrizadeh.blogfa.com
4- http://statisticslu.blogfa.com
/خ