عدد a رو رسم پذير گوييم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطي به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر اين است که يک واحد طول داده شده باشد.
* از اين به بعد هر جا کلمه رسم پذيري آمد منظور همان رسم پذيري به وسيله خط کش و پرگار است.
رسم پذيري بعضي عددها بسيار واضح است. مثلا 1 و 2 و … چون اينها ضريبهايي از واحد طول هستند. اما بعضي ديگر احتياج به بررسي دارند مثل “راديکال 2”. آيا اين عدد رسم پذير است؟
از دوران دبيرستان به ياد داريم که : از هر نقطه خارج يک خط مفروض مي توان خطي عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقي اين دو خط را مبدا در نظر بگيريم به اين محور محور رسم پذير مي گوييم.
در اين محور:
1. (a,0) يا (0,a) را رسم پذير گوييم اگر a رسم پذير باشد.
2. (a,b) را رسم پذير گوييم اگر a و b رسم پذير باشند.
هر شکلي را که روي اين محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دايره و… يک شکل رسم پذير گوييم.
++ اگر يک پاره خط در اين محورها رسم کنيم، طول پاره خط عددي رسم پذير است.
حال مي توانيم به راحتي بگوييم که “راديکال2” رسم پذير است. چون اگر (0.1) و (0و1) رو روي محور به هم وصل کنيم بنابر قضيه فيثاغورث پاره خطي به طول “راديکال2? داريم.
حال سوالي که مطرح مي شود اين است که آيا همه اعداد رسم پذيرند؟ و اگر نه چه عددهايي رسم پذيرند و کدام ها رسم پذير نيستند.
همه عددها رسم پذير نيستند و تعيين رسم پذيري آنها به کارهاي تخصصي مي انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذير رو فهميديم چند حکم کلي درباره رسم پذيري رو هم بيان مي کنيم:
1.اگر a و b رسم پذير باشند آنگاه a+b , a-b , a.b , a/b نيز رسم پذيرند.
2.اگر a رسم پذير باشد آنگاه “راديکال a” نيز رسم پذير است.
3.موارد زير معادلند (يعني اگر يکي از آنها در مورد يک عدد درست باشد دو تاي ديگر نيز درستند):
الف) x رسم پذير است.
ب) (Cos(x رسم پذير است.
ج) (Sin(x رسم پذير است.
4.همه اعداد گويا (Q) رسم پذير هستند.
اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذيري عددها خيلي ساده تر شد. تنها عددي ممکن است رسم پذير نباشد که گنگ باشد. اما تعيين اينکه عدد گنگي رسم پذير است يا نه داراي تکنيکهاي ويژه ايست.
چند حکم در مورد رسم پذيري اعداد با استفاده از ميدان هاي شکافنده:
1.مجموعه همه عددهاي رسم پذير زيرميداني از ميدان اعداد حقيقي ® است.
2.اگر a عددي رسم پذير باشد آنگاه a در توسيعي از Q قرار دارد که درجه آن توسيع روي Q تواني از 2 است.
3.(نتيجه 2 و پر کاربرد تر از آن): اگر a در يک چندجمله اي تحويل ناپذير روي Q صدق کند که درجه آن تواني از 2 نباشد آنگاه a رسم پذير نيست.
4.اگر a ريشه n-ام اوليه واحد باشد آنگاه n ضلعي منتظم رسم پذير است اگر وفقط اگر درجه (Q(a روي Q تواني از 2 باشد.
5.اگر P عددي اول باشد آنگاه P ضلعي منتظم رسم پذير است اگر وفقط اگر P عدد اول فرما باشد.
چند مساله تاريخي زير هم که شايد از زمان اقليدس وجود داشته و با استفاده از بحث رسم پذيري حل شدند در زير مي بيند:
1.آيا مي توان به کمک خط کش و پرگار هر زاويه را به سه قسمت تقسيم کرد؟ (تثليث زاويه)
2.آيا مي توان مربعي هم مساحت با يک دايره دلخواه رسم کرد؟ (تربيع دايره)
3.آيا مي توان براي هر مکعب دلخواه مکعبي رسم کرد که حجم آن دو برابر مکعب مفروض باشد؟ (تضعيف مکعب) تضعيف يعني مضاعف کردن. يعني دو برابر کردن.
ثابت شده است که هيچ يک از اين احکام در حالت کلي درست نيستند. مثلا “تثليث زاويه 60 درجه” و “تربيع دايره اي به شعاع يک” و “تضعيف مکعبي به ابعاد يک” ممکن نيست.
منبع:http://www.academist.ir
/خ