بوتاون تورا کاواليري (1564-1642) اهل ميلان، از همان سال هاي نخستين به رياضيات علاقه مند بود،و به ظاهر زير تاثير گاليله، روش « غير قابل تقسيم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال 1635، با عنوان «هندسه، با طرح تازه اي بر اساس غير قابل تقسيم هاي پيوسته»، به شهرت رسيد.
غير قابل تقسيم ها، از نظر کاواليري، وترهاي موازي در درون شکل روي صفحه، و صفحه هاي موازي در درون جسم بود. او براي مقايسه ي شکل هاي روي صفحه و جسم هاي فضايي، مفهوم « مجموع همه ي غير قابل تقسيم ها» را آورد که تماس سطح و فضاي جسم را پر مي کردند.
براي کاواليري، نسبت اين مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل هاي روي صفحه را، بين دو خط راست موازي در نظر گرفت.
اصل کاواليري درباره مساحت
اگر فرض کنيم قاعده هاي دو شکل بر روي يک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطي موازي قاعده هاي دو شکل در آنها قطعه هايي با طول هاي مساوي ايجاد کند، مساحت هاي آن دو شکل برابر است.
با توجه به شکل دو شکل بر روي افق قرار گرفته اند. اگرهر خطي به موازات قاعده مانند d رسم کنيم و داشته باشيم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.
اصل کاواليري در باره حجم ها
دو شکل فضايي و صفحه اي که قاعده هاي دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگيريد. اگر هر صفحه اي موازي با اين صفحه که يکي از اين دو شکل را قطع مي کند، ديگري را نيز قطع مي کند و سطح مقطع هاي حاصل داراي مساحت هاي برابر باشند، آنگاه اين دو شکل فضايي حجم يکسان دارند.
خود کاواليري در اين زمينه مي نويسد: «دو جسمي که قاعده ي آنهاي بر يک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطي هم ارزند يعني حجم هاي برابر دارند که مقطع هاي آنهابا صفحه هاي موازي با قاعده باشد.»
اين نظام کار، به نام «نظام کاواليري» معروف است.
کاواليري بر پايه ي اين نظام، قضيه هاي زيادي را اثبات مي کند. براي نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت هاي دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع هاي متناظر آن ها.
ابهامي که در مفهوم «مجموع غير قابل تقسيم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضي از هم عصران کاواليري شد. به همين خاطر کاواليري کتاب ديگري با نام «شش طرح هندسي» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هايي را که بکار مي برد، دقيق تر کند، با وجود اين، خود کاواليري تا پايان زندگي نسبت به کافي بودن استدلالهاي خود در ترديد باقي بود، گرچه به درستي آن ها اعتقاد داشت.
طرح کاواليري در هندسه و آموزش او درباره ي غير قابل تقسيم ها، تنها براي درک بهتر هندسه ي مقدماتي سودمند نبود. اين آموزش، يعني جمع کردن غير قابل تقسيم ها، پيش در آمدي براي انتگرال گيري بود. کاواليري نماد انتگرال را بکار نمي برد، ولي در واقع از انتگرال گيري استفاده مي کرد…
به جز اين، در هندسه ي کاوليري به قضيه هايي بر مي خوريم که براي پيدايش محاسبه ي ديفرانسيلي، ارزش معيني دارند. از آن جمله، نخستين گزاره اي که در هندسه آمده، هم ارز با قضيه رول است، و به دنبال آن گزاره اي آمده است که مضمون آن اينست: در نقطه هاي ماکزيمم و مي نيمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازي است.
يکي از کمبود هاي جدي هندسه ي کاواليري اين است که مولف از بکارگيري جبر فراري است و همه جا به هندسه دانان قديمي تکيه مي کند. بي ترديد، بکار گيري نمادهاي جبري که در زمان کاواليري رايج شده بود، مي توانست کارهاي او را دقيق تر، کامل تر و قابل درک تر کند
منبع: http://www.academist.ir
/س