منطق رياضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق رياضى دو معنا مستفاد مى شود.
1- منطق رياضى به معناى خاص كه در واقع بايد ترجمه The logic of mathematic باشد چرا كه رياضيات مانند هر علم ديگرى از نظمهايى برخوردار است كه اين نظمها تحت عنوان منطق مى آيد و منطق رياضى به معناى خاص بررسى رياضى اين نظمها يا قواعد است.
2- معناى عامى هم براى منطق رياضى متصور است كه عبارت است از: استفاده از روشها و تكنيكهاى رياضى براى بررسى منطق. به اين معنا كه منطق رياضى يك علم كاربردى است و در مقوله رياضيات كاربردى قرار مى گيرد. بين دو معناى عام و خاصى كه مطرح شد يك رابطه واقعى عام و خاص نيز وجود دارد.
كتاب «منطق رياضى» ، كتابى به معناى خاص منطق رياضى است. يعنى بررسى منطق متعلق به رياضيات نه منطق به معناى عام. در واقع بايد گفت كه معناى آن اخص است. يعنى كتابى است براى بررسى رياضيات كلاسيك. شايد اين سؤال پيش آيد كه رياضيات كلاسيك چيست؟ و مگر رياضيات غير كلاسيك نيز وجود دارد.

آيا رياضيات علمي منطقي است؟

جواب اين است كه با توجه به نوع نگرش فلسفى كه نسبت به اشياء رياضى و عالم رياضى داريم رياضيات غير كلاسيك هم وجود دارد. به تسامح مى توان گفت كه در رياضيات كلاسيك شيوه هايى از استدلال و برهان وجود دارد كه در رياضيات غيركلاسيك مجاز نيست. به ويژه برهان خلف به عنوان يك برهان كه در رياضيات كلاسيك به كار مى رود در رياضيات غير كلاسيك بر قرار نيست و قاعدتاً منطقى را مى طلبد كه با منطق رياضيات كلاسيك متفاوت است. در اين منطق، رياضيات ساختى اصل طرد شق ثالث يك اصل معتبر رياضى نيست. بنابراين منطق رياضيات ساختى و به عبارت معروفتر منطق شهود گرايانه اصول و قواعد كمترى از منطق كلاسيك را دارد.
كتاب «منطق رياضى» بسيار خاص است. يعنى عبارت است از: بررسى منطق رياضيات كلاسيك. اما بين اين معناى خاص و عام منطق رياضى رابطه واقعى وجود دارد. به اين معنا كه حتى در معناى خاص منطق رياضى ويژگى عام معنايى هم در اين مورد وجود دارد. يعنى اين كه ما از تكنيكها و روشهاى رياضيات در بررسى تحقيق درباره رياضيات سود مى بريم. پس منطق رياضى به دو وجه رياضى است. نخست اينكه موضوع آن موضوع منطق رياضى است، دوم اينكه روش آن رياضى است. يعنى اينكه در عالم رياضيات با استفاده از اصول و قواعد رياضى، ما به موضوع منطق رياضى مى پردازيم. پس منطق رياضى به معناى عام براى موضوع رياضيات به دو وجه رياضى است و اين نكته اى نسبتاً مهم است. رياضى بودن، روش تأليف دقيق دارد . اگر بخواهيم خيلى دقيق باشيم - و من اصرار به دقيق بودن آن دارم - اين است كه وقتى مى گوييم روش رياضى است يعنى در عالم نظريه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى كند كه چه اعمالى را انجام دهيم و يا چه اعمالى را انجام ندهيم. اما اگر با مسامحه بخواهيم صحبت كنيم روش رياضى همان علائم و نمادهايى است كه براى اشاره به اشيا و اعمال جمع و ضرب و تقسيم به كار مى رود.
بديهى است كه هر چه اين تكنيك رياضى را در سطح بالاترى به كار بريم يعنى هر چه هزينه بيشترى بپردازيم چيز بهترى به دست مى آوريم به همين دليل است كه غالباً قضاياى شگفت انگيز بنيان افكن علم رياضى از تكنيكهاى پيشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش رياضى را محدودتر كنيم طبعاً چيز كمترى به دست مى آوريم.
به معناى عام منطق رياضى باز مى گرديم. اما منطق چيست . آيا واقعاً يك منطق وجود دارد و يا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آيا هر كدام از اينها روش خاص رياضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اينكه ما چه تعريفى براى منطق قائل باشيم شكى نيست كه نقطه آغازين منطق رياضى ابداع زبان مناسب است و اين پيشفرض علمى منطق رياضى است كه منطق يا به عبارتى ديگر نظمهاى تفكر در قالب زبان متجلى مى شوند. بنابراين زبان، بحث فلسفى عميقى را مى طلبد. چيزى كه در قالب زبان نيايد در قلمرو كار منطق و رياضى قرار نمى گيرد. اين زبان، زبان طبيعى نيست گرچه با بررسى و تجزيه و تحليل زبان طبيعى ساخته مى شوند. اين زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوييم. در اين زبان نمادهايى را به طور صورى ابداع مى كنيم كه اين ابداع نمادها آن را از زبان طبيعى جدا مى كند. اما در عين حال اين نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند.
اين نمادها با تجزيه و تحليل زبان طبيعى و اجزاى زبان طبيعى ساخته مى شود. بنابراين با تجزيه و تحليل زبان سعى داريم مدل رياضى بسازيم. به عبارتى ديگر اين بخشى از كار منطق رياضى است كه ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل رياضى مى سازيم. اما مفاهيم ديگرى مثل مفهوم صدق يا حقيقت يا تعريف پذيرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گيرند. قسمت دوم كار، مدل سازى براى معنا شناسى يا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق رياضى بين نحو كلام يا زبان و يا معناشناسى زبان براى جلوگيرى از هر نوع خلط احتمالى جدايى است. نحو در زبان صورى چيزى شبيه گرامر و دستور زبان است. يكى از مسائل اساسى كه در اين مرحله در منطق رياضى به آن توجه شده اين است كه بين زبانى كه به عنوان شىء ساختيم و زبانى كه در آن درباره اين شىء كه در زبان هست مى خواهيم صحبت كنيم، تمايز اساسى وجود دارد. بنابراين هوشمندى در زبان جلوگيرى از پارادوكسهايى است كه در طول تاريخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهيم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوكس دروغگو.
يكى از مفاهيمى كه به نوعى مشترك در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شايد يكى از مفاهيم بسيار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه بايد گفت هيچ كدام از اين سه شاخه تا كنون قادر به ارائه يك مدل از آن نشده اند. در اين زمينه تحقيقات همچنان ادامه دارد. از مفاهيم اساسى كه در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است كه در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. يكى ديگر از علايق اساسى منطق رياضى رابطه اين دو است. اينكه ما در نحو زبان مفاهيمى داريم و آنها را ابداع كرديم و همين طور در دلالت شناسى زبان مفاهيمى را مدل سازى رياضى كرديم و طبيعتاً روابط به اين دو مقوله از علائق اساسى منطق است. اينكه آيا در يك دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات يا استنتاج شود كاملاً يك مفهوم نحوى است كه چگونه يك جمله را از بقيه مفروضاتتان توليد كنيد. توليد كاملاً يك مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف ديگر بپرسيد كه آيا اين جمله راست است يا دروغ؟ يك مفهوم معنايى است اينكه خارج از زبان بين اين دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه اين دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق رياضى است.
تدوين منطق رياضى اساساً كار سختى است ولى مى توان گفت بين سالهاى 1850 تا 1950 اين كار توسط چندين نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولين كسى كه اين بنا را بنياد نهاد. فارغ از اينكه منطق ارسطو از نظر منطق رياضى چقدر موجه بنمايد و مهم باشد، به نظر من كاخ عظيم منطق رياضى را ارسطو ساخته است. اين كاخ چنان مستحكم بود كه حداقل تا 1879 وقتى كه فرگه وارد ميدان شد، دوام آورد و تصوير و تصور ما را با تجزيه و تحليلى كه نسبت به زبان آغاز كرد از منطق دگرگون كرد. منطق ارسطويى، تحليلى را از اجزاى جمله شروع مى كند كه مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه اين تصوير را فرگه دگرگون كرد و آن را تبديل به تابع و شناسه نمود. بدين ترتيب مفهومى رياضى وارد ميدان شد و تصوير و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغيير داد. علاوه بر اين فرگه كارهاى ديگرى هم انجام داد كه بنياد منطق رياضى جديد مبتنى بر كارهاى فرگه است.
سومين كسى كه كار انقلابى در منطق كرد اما مبتنى بر كارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى 1931 و 1930 دو نوع قضاياى تماميت و قضاياى نا تماميت را ارائه كرد. قضيه تماميت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى كه من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح كردم. آيا در يك دستگاه منطقى يك حكم يا يك گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعكس در حكمى كه صادق است هر معنايى در همه جهانهاى ممكن آيا اين قابل استنتاج است و اگر اين دستگاه چنين ويژگى داشته باشد نشان دهنده اين است كه اين دستگاه كامل و تمام است. گودل در 1930 ثابت كرد كه اين بنيانگذارى منطق بر شالوده تفكر فرگه براى منطق كامل هست. قضاياى نا تماميت گودل پيچيده تر و البته مأيوس كننده تر براى تفكر بشرى است.
منبع:http://www.academist.ir
/س