کشش سطحي در مايعات موضوع بسيار آشنايي در فيزيک است. گرچه در بسياري از منابعي که اين پديده را مورد بحث قرار داده‌اند به وجود نيروي برايندِ جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ اِعمال شده‌ي روبه‌داخل بر مولکول‌هاي واقع در سطح مايع اشاره شده است اما ارتباطي منطقي بين اين جاذبه‌ي روبه‌داخل و تظاهراتِ خارجي که به کشش سطحي نسبت داده مي‌شوند برقرار نشده است. به‌عبارتِ ديگر چون در نظرِ اول به‌نظر مي‌رسد اين تظاهرات را مي‌توان با فرض کششي تنها بر سطح مايع توجيه کرد، مسأله، بدونِ دقت در جزئياتِ استدلال‌هاي ارائه شده براي اين توجيهات، به‌وسيله‌ي فيزيکدانان، ساده و حل‌شده تلقي شده است. در اين مقاله با دقت در جزئياتِ مباحث، صريحاً نشان داده مي‌شود که مسأله آنچنان‌که تصور مي‌شود حل‌شده نيست و نيز حل آن در بعضي موارد چندان آسان نيست. به‌عبارتي، به‌طور کاملاً ساده نشان داده مي‌شود که آنچه که به کششِ بينِ تنها مولکول‌هاي روي سطح مايع نسبت داده مي‌شود درواقع مربوط به کششِ بينِ همه‌ي مولکول‌هاست، و به‌علتِ وجودِ پارامترهاي آزمايشيِ قابلِ اندازه‌گيري، ما حتي به‌عنوانِ يک شکلِ ظاهري نمي‌توانيم آن‌را به کشش سطحي نسبت دهيم.

سطوحِ کمينه
 

آنچه بين جامد، مايع، و گاز تمايز مي‌گذارد نيروي جاذبه‌ي بينِ مولکول‌هاست. در جامد، اين نيرو آنچنان قوي است که اِعمالِ نيروهاي خارجي نمي‌تواند باعث جابجايي مولکول‌ها شود. در مايع، اين نيرو به‌اندازه‌ي کافي ضعيف هست که نيروهاي خارجي بتوانند باعثِ جابه‌جاييِ مولکول‌ها نسبت به يکديگر شوند، يعني گرچه پيوندِ جاذبه‌اي بينِ دو مولکول وجود دارد اما هرکدام از اين دو مولکول براثرِ اِعمال نيرويي ممکن است جاي خود را به مولکولي ديگر دهد. در گاز مي‌توان گفت که تقريباً اصلاً هيچ جاذبه‌اي بين مولکول‌ها وجود ندارد. آنچه دراينجا براي ما مهم است اين است که همچنان‌که گفتيم در مايع نيرويِ جاذبه‌اي بينِ هر دو مولکول وجود دارد. چنين نيروهايي در مايع باعث مي‌شود که مولکول‌ها به‌شکلِ يک توده انباشته شوند.
يک توده از مايع را درنظر گيريد. مطمئناً اين مجموعه‌ي مولکوليِ مايع داراي سطحي خارجي مي‌باشد. مولکولي از مايع را بر اين سطح درنظر گيريد. نيروهاي جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ وارد بر اين مولکول فقط از مولکول‌هاي مايعِ داخلِ توده (مجاور با آن) هستند ولذا اين مولکول به‌طرفِ داخل کشيده مي‌شود. هر مولکولِ سطح اين وضعيت را دارد. بنابراين همه‌ي مولکول‌هاي سطح به‌طرفِ داخل کشيده مي‌شوند و مطمئناً هرکدام از آنها اگر امکان بيابد به داخلِ مايع خواهد رفت. جابه‌جاييِ يک مولکول از سطح به‌سمتِ داخل به‌معناي کاهشِ سطح و افزايشِ ضخامتِ توده است. روندِ کاهشِ سطح تا به‌دست آمدنِ سطحِ کمينه‌ي ممکنِ نهايي ادامه مي‌يابد.
روندِ کمينه شدنِ سطح مايع حتي هنگامي که شرايطِ محدودکننده‌اي براي مايع وجود داشته باشد وجود خواهد داشت. بنابراين مثلاً مايعِ محدود شده به لبه‌هاي يک حلقه، شکلي تخت، که داراي سطح کمينه‌اي در اين حالت مي‌باشد، به‌خود مي‌گيرد.
به‌اين‌ترتيب مي‌بينيم آنچه باعث مي‌شود سطوحِ مايع کمينه گردند نيروي جاذبه‌ي بينِ همه‌ي مولکول‌هاي مايع است (که عمود بر سطح است) نه نيروي جاذبه‌ي بينِ مولکول‌هاي سطح مايع (که موازي با سطح است).

فشارِ چسبندگي
 

روشن است که حتي هنگامي که توده‌ي مايع کمينه سطحِ ممکن را به‌دست آورد هنوز همان نيرويِ برايندِ جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ روبه‌داخلِ وارد شده بر مولکول‌هاي سطح به‌وسيله‌ي مولکول‌هاي مايعِ مجاورِ سطح وجود دارد. اين نيرويِ عمودِ روبه‌داخلِ وارد شده بر سطح مايع فشاري بر مايع وارد مي‌آوَرَد که داراي توزيعي در سرتاسرِ مايع خواهد بود (درست شبيهِ يک توده‌ي مايعِ قرار گرفته در اتمسفر که فشار هوا بر آن به‌شکلِ نيرويِ عمودِ روبه‌داخلِ وارد بر سطحِ آن اثر مي‌کند درحالي‌که اين فشار در سرتاسرِ مايع احساس مي‌شود). اين فشار را فشارِ چسبندگي مي‌ناميم. اين درواقع اين فشار (به‌اضافه‌ي فشار هوا درصورتِ قرار داشتنِ مايع در اتمسفر) مي‌باشد که توده را تحت پِرِس قرار داده و سطحِ آن‌را کمينه مي‌نمايد.
يک قطره‌ي مايع را که به‌شرطِ عدمِ وجودِ جاذبه‌ي گرانشي و عدمِ وجودِ فشارِ گازِ خارجيِ وارد شده بر سطح قطره (گرچه اين شرطِ اخير لازم نيست) شکلِ يک کُره را به‌خود مي‌گيرد درنظر بگيريد (واضح است که اين شکل به‌اين علت که داراي سطحِ کمينه است به‌دست مي‌آيد). مولکولي از مايع را بر سطحِ اين کُره درنظر گيريد. نيرويِ روبه‌مرکزي، عمود بر سطح، براين مولکول وجود دارد که ناشي از نيروهاي جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ وارد بر آن از مولکول‌هاي داخليِ مجاور با آن مي‌باشد. از آنجا که اين مولکول درحالِ تعادل است لزوماً بايد نيرويي مساوي اما مختلف‌الجهه نيز برآن وجود داشته باشد. اين نيرو که روبه‌خارج براين مولکول وارد مي‌شود ناشي از فشارِ چسبندگي در مايعِ قطره مي‌باشد.
همچنين مي‌توان اين کُره را توسطِ يک صفحه‌ي نصف‌النهاريِ آَنگاري به دو نيم‌کُره تقسيم کرد. دو نيروي مساوي اما مختلف‌الجهه بر نيم‌کره‌ي راست وارد شده باعثِ تعادلِ آن مي‌شود: نيرويِ روبه‌چپِ ناشي از جاذبه‌ي بينِ مولکول‌هاي مايع در سطحِ جداييِ دو نيم‌کره (يعني صفحه‌ي نصف‌النهاري)، و نيرويِ روبه‌راستِ ناشي از فشارِ چسبندگي در اين سطحِ جدايي.
فشارِ چسبندگي ممکن است در نقاط مختلفِ توده‌اي از مايع متفاوت باشد (درست همانگونه که فشارِ ناشي از وزن مايع در نقاطِ مختلفِ مايعِ داراي ارتفاعاتِ کوناگون يکسان نيست). براي بررسيِ اين امر دو مثال از حالت‌هاي ناپايدار و پايدار را درنظر مي‌گيريم:
حالتِ ناپايدارِ توده‌ي مايعِ شکلِ 1 را با فرض اين‌که جاذبه‌ي گرانشي و فشارِ گازِ خارجي وجود ندارد درنظر گيريد.

مطمئناً فشارِ چسبندگي در قسمتِ برآمده کمتر است تا در قسمت‌هاي ديگر. اين امر باعث مي‌شود که گرچه همان نيرويِ جاذبه‌ي روبه‌داخلي بر يک سطحِ جزئيِ لايه‌ي مولکوليِ تشکيل دهنده‌ي سطحِ اين قسمتِ برآمده وارد مي‌آيد که بر يک سطحِ جزئيِ اين لايه که تشکيل‌دهنده‌ي سطحِ ديگر قسمت‌هاست وارد مي‌آيد، اما چون فشارِ چسبندگيِ زيرِ اين لايه در قسمتِ برآمده کمتر است تا در ديگر قسمت‌ها لذا نيرويِ روبه‌خارجِ وارد شده بر سطح جزئيِ لايه در قسمتِ برآمده کمتر است تا در ديگر قسمت‌ها. پس نيرويِ برايندِ وارد بر سطح جزئي در قسمتِ برآمده روبه‌داخل است درحالي‌‌که در ديگر قسمت‌ها تقريباً صفر است. اين باعث مي‌شود که لايه به‌سمتِ داخل کشيده شود تا شکلِ کُروي براي توده به‌دست آيد.
اکنون حالتِ پايدارِ يک قطره‌ي مايع ، که درحالي‌که فشارِ گازِ خارجي وجود ندارد تحتِ تأثيرِ وزن خود بر رويِ يک سطح صُلب، که به‌وسيله‌ي مايع تر نمي‌شود، قرار گرفته است، را درنظر گيريد؛ شکل 2 را ببينيد. مي‌دانيم که در هر نقطه روي سطح قطره، به‌جز آن قسمت که در تماس با سطحِ S است، نيرويِ (برايندِ) روبه‌داخلِ وارد بر يک سطح جزئي (ناشي از جاذبه‌هاي بينِ مولکولي) يکسان است. چون هر نقطه‌ي قطره درحالِ تعادل است نيرويِ روبه‌خارجِ وارد بر سطحِ جزئي بايد داراي همان بزرگيِ نيرويِ روبه‌داخل باشد. اين نيرويِ روبه‌خارج، ناشي از فشاري زيرِ سطح قطره است. اين فشار مجموعِ دو فشار است: فشارِ ناشي از وزنِ ستونِ مايع بالاي هر نقطه، و فشارِ چسبندگي. چون مي‌دانيم با حرکت روي سطح از قُلّه به‌طرفِ پايين، فشارِ ناشي از وزن مايع زياد مي‌شود لاجَرَم بايد نتيجه بگيريم که با حرکت از قله به پايين، فشارِ چسبندگي در مايعِ مجاورِ سطح کاهش مي‌يابد، و درحقيقت شکلِ گرفته شده به‌وسيله‌ي قطره به‌خاطرِ فراهم آوردنِ اين فُرمِ ويژه‌ي لازم از شيبِ فشارِ چسبندگي مي‌باشد.
نيروي رو‌به‌داخلِ وارد بر سطحي از مايع که در تماس با سطح S مي‌باشد شاملِ دو نيروي روبه‌داخلِ ناشي از جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ مولکول‌هاي مايع و نيروي (عمود) عکس‌العملِ سطح S مي‌باشد. روشن است که اين نيرو مي‌بايست توسطِ نيروهاي روبه‌خارجِ ناشي از وزن مايع و فشار چسبندگي خنثي شود، وچون فشار وزن نسبت به نقاطي از سطح مايع که نزديک به اما غيرِمماس با سطحِ S مي‌باشند چندان تغييري ندارد نتيجه مي‌گيريم که فشار چسبندگي نسبت به اين نقاط به‌نحوِ قابل توچهي افزايش يافته است.

اندازه‌گيريِ جاذبه‌ي بينِ مولکولي
 

جامدي را درنظر گيريد که نيروي جاذبه‌ي بينِ يک مولکول از آن و يک مولکول از يک مايعِ موردِ نظر بيش از نيروي جاذبه‌ي بينِ دو مولکول از مايع باشد. واضح است که اگر اين جامد در مايع فروبرده شود مولکول‌هاي مايع به بدنه‌ي جامد خواهند چسبيد و آن‌را تر مي‌کنند. اگر جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ بينِ يک مولکولِ جامد و يک مولکولِ مايع کمتر از جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ بينِ دو مولکولِ مايع باشد مايع جامد را تر نخواهد کرد و پس از بيرون کشيدنِ آن از مايع چسبيده بدان نخواهد ماند. بياييد حلقه‌ي تختي از جامدِ جنسِ نخست، که توسط مايع مي‌تواند تر شود، بسازيم، و درحالي‌‌که سطحِ پايينِ آن در تماس با مايع است آن‌را به قلابِ يک نيروسنج آويزان کنيم.
حال تلاش مي‌کنيم با کشيدنِ آن به‌طرفِ بالا آن‌را از سطح مايع جدا کنيم. واضح است که به‌علتِ جاذبه‌ي بين مولکولي، براي اين عمل اِعمالِ نيرويي لازم مي‌باشد. اين نيرو را درست درلحظه‌اي که حلقه از مايع جدا مي‌شود مي‌خوانيم. اين نيرو مجموعِ نيروهاي جاذبه‌ي بينِ مولکول‌هاي مايعِ زيرِ سطح پايينيِ حلقه مي‌باشد. اين نيرو مجموع نيروهاي جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ بينِ مايع و جامد نيست زيرا همچنانکه گفتيم جامد به‌وسيله‌ي مايع تر مي‌شود ولذا درست درلحظه‌ي جدايي، لايه‌اي نازک از مايع به سطح پايينيِ حلقه چسبيده باقي مي‌مانَد و باعث مي‌شود که نيروي خوانده شده مجموعِ نيروهاي جاذبه‌ي بينِ مولکولي بينِ مولکول‌هاي لايه و ديگر مولکول‌هاي مايعِ مجاورِ آنها باشد. فرض کنيد اين نيرو F و مساحتِ سطح پايينيِ حلقه A باشد. بدين‌طريق ملاکي براي اندازه‌گيريِ نيروهاي جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ مولکول‌هاي مايع به‌شکلِ F/A، که آن‌را با K نشان مي‌دهيم، به‌دست مي‌آيد. اگر شعاع خارجيِ حلقه R2 و شعاع داخليِ آن R1 باشد آنگاه واضح است که A=π(R22-R12) ولذا:
F=KA=K π(R22-R12)
با صفرکردنِ R1 انتظار داريم که، در آزمايش، F متناسب با مربعِ R2، شعاعِ ديسک، باشد.

فيلمِ مايع
 

اجازه دهيد فيلمي مايع بينِ يک سيمِ Uشکل و يک سيمِ افقي گه دو انتهاي آن دورِ دو بازويِ سيمِ Uشکل حلقه شده است تشکيل شود. سيمِ افقي تمايل دارد به‌سمتِ بالا حرکت کند. بياييد ببينيم علتِ اين پديده واقعاً چيست. سطحِ مقطع سيمِ افقي و فيلمِ مايع در شکل 3(a) نشان داده شده است. به‌علتِ جنسِ سيمِ افقي، مايع آن‌را تر مي‌کند ولذا به تقريباً تمامِ نيمه‌ي فوقانيِ سطح جانبي سيم افقي مي‌چسبد، و با اِعمال جاذبه‌ي بينِ مولکولي بين مولکول‌هاي مايع و سيم، آن‌را به‌طرف بالا مي‌کشد. اين درواقع همان نيروي جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ روبه‌داخلِ مايع، اِعمال شده بر مولکول‌هاي مايعِ درتماس با سيم، مي‌باشد که به سيم منتقل مي‌گردد و باعث کشيدنِ آن به‌سمتِ داخل (يعني به‌سمت بالا) مي‌شود زيرا مولکول‌هاي مايعِ درتماس با سيم به آن چسبيده‌اند. با آويزان کردنِ وزنه‌اي مناسب به سيمِ افقي، سيم در تعادل نگاه داشته خواهد شد (و ديگر به‌طرف بالا کشيده نمي‌شود). روشن است که بدونِ اهميت به اينکه ضخامت (t) فيلم چيست سطح تماس مايع و سيم ثابت (برابر با نيمي از سطح جانبي سيم) مي‌مانَد، ولذا سيمِ افقي در هر موقعيتي که به‌دلخواه قرار داده شود در تعادل خواهد ماند زيرا درهر حال سطح تماس و از آنجا نيروي جاذبه‌ي بين مولکوليِ کلي بين مايع و سيم يکسان خواهد ماند.
عدم توجه به اين حقيقت باعث شده است که گمان شود که دليلِ اين‌که سيمِ افقي در هر موقعيتي در تعادل است اين است که نيروي روبه‌بالا بر سيم افقي از فيلم مايع تنها به‌وسيله‌ي کشش سطحي در سطح فيلم اِعمال مي‌شود، يعني همچنانکه در شکل 3(b) مي‌بينيم اين نيرو تنها در امتدادِ خطوطي که سطحِ مقطع‌هاي آنها با a و b در شکل نشان داده شده اند اِعمال مي‌شود. واضح است که تغييرِ ضخامت فيلم (t)، طولِ اين خطوط را تغيير نمي‌دهد.
در اينجا بد نيست به‌علاوه بگوييم که فيلمِ مايع فقط نيروي روبه‌بالا بر سيم افقي وارد نمي‌کند، اين فيلم دو نيروي روبه‌پايينِ کوچکتر نيز وارد مي‌کند که يکي قسمتي از وزن (فيلم) مايع است (درحالي‌که قسمتِ بزرگترِ ديگرِ آن به‌وسيله‌ي سيمِ Uشکل تحمل مي‌شود)، و ديگري نيروي ناشي از فشار چسبندگي در مايع است.

حباب
 

ديديم که به‌شرطِ عدمِ وجود جاذبه‌ي گرانشي و فشار گاز خارجي دو نيروي مساوي اما مختلف‌الجههِ جاذبه‌ي بينِ مولکولي و ناشي از فشارِ چسبندگي بر نيم‌کُره‌ي راستِ قطره‌ي توپُرِ کُروي وارد مي‌آيد. اگر در يک فشار گاز خارجي (مثلاً فشار اتمسفر)، اما همچنان با شرطِ عدمِ وجود جاذبه‌ي گرانشي، قرار داشته باشد، نيروهاي موازنه شده‌ي وارد بر نيم‌کُره‌ي راست عبارتند از نيروي روبه‌چپِ ناشي از فشار گاز خارجي که مستقيماً بر سطح کرويِ نيم‌کره وارد مي‌آيد، نيروي روبه‌چپِ ناشي از جاذبه‌ي بينِ مولکولي مولکول‌هاي مايع در سطحِ جداييِ دو نيم‌کُره، و نيروي روبه‌راستِ ناشي از فشارِ داخل مايع در سطح جداييِ دو نيم‌کره. اين فشار، ديگر فقط فشار چسبندگي نيست، بلکه فشار گاز خارجيِ وارد بر سطح قطره، که در داخل قطره‌ي مايع احساس مي‌شود، نيز در آن مشارکت دارد.
بياييد به‌طريقي در داخل اين قطره‌ي توپُر بدميم و با وارد کردنِ گاز در داخل آن يک پوسته‌ي کُروي (يعني حباب) همچون شکل 4 تشکيل دهيم.

نيروهاي وارد بر نيمه‌ي راستِ اين پوسته عبارتند از نيرويِ روبه‌چپِ ناشي از فشار گاز خارجي، p2، وارد بر سطح خارجي که برابر است با p2(πR22)، نيروي روبه‌چپِ ناشي از جاذبه‌ي بين مولکوليِ بينِ مولکول‌هاي مايع در سطحِ πR22-πR12 که با درنظر گرفتنِ ضريبِ K معرفي شده در معادله‌ي فوق الذکرِ F=KA=Kπ(R22-R12) برابر است با Kπ(R22-R12)، نيروي روبه‌راستِ ناشي از فشار گاز داخلي، p1، وارد بر سطح داخلي که برابر است با p1(πR12)، و نيروي روبه‌راستِ ناشي از فشار داخل مايع، pi، وارد بر سطح πR22-πR12 (يعني سطح جدايي دو نيمه‌ي پوسته) که برابر است با piπ(R22-R12) (اين فشار (يعني pi) متشکل از سه فشارِ جزئي مي‌باشد: فشار چسبندگي، فشار ناشي از فشار گاز خارجي وارد بر سطح خارجي و منتقل شده به داخل مايع، و فشار ناشي از فشار گاز داخلي وارد بر سطح داخلي و منتقل شده به داخل مايع. مهم است توجه داشته باشيم که، همچنانکه در اول مقاله ديديم، فشار چسبندگي در داخل مايع پارامتري ثابت نيست و با بزرگ يا کوچک ساختنِ پوسته‌ي کروي کاهش يا افزايش مي‌يابد). چون اين نيمه درحالِ تعادل است داريم:
p2(πR22)+Kπ(R22-R12)=p1(πR12)+piπ(R22-R12)
هنگامي‌که p1، p2، و R1 صفر شوند اين رابطه منجر به رابطه‌ي KπR22=piπR22 مي‌شود که در آن pi فقط فشار چسبندگي است و سمتِ چپ همان نيرويِ روبه‌چپِ ناشي از جاذبه‌ي بينِ مولکولي، اِعمال شده بر نيم‌کره‌ي راستِ مورد بحث در اول مقاله، مي‌باشد و سمت راست همان نيرويِ روبه‌راستِ ناشي از فشار چسبندگي، اِعمال شده بر اين نيم‌کره، است.
اگر بتوانيم pi را به‌طريقي اندازه بگيريم، با درنظر گرفتنِ اين‌که پارامترهاي ديگرِ رابطه‌ي اخير به‌راحتي به‌طورِ مستقيم يا غيرمستقيم قابل اندازه‌گيري‌اند مي‌توانيم اعتبار اين رابطه را عملاً تست کنيم.
مي‌توان رابطه‌ي زير را براي فشار گاز داخل حباب از رابطه‌ي اخير به‌دست آورد:
p1=(K+p2-pi)(R2/R1)2+pi-K
که از آن مي‌توان نتيجه گرفت که اگر p2 و K ثابت بمانند و با فرض اين‌که اثر تغييراتِ pi در مقايسه با تغييراتِ (R2/R1)2 ناچيز باشد، آنگاه هرچه حباب بزرگتر باشد فشار داخل آن، p1، کمتر خواهد بود، زيرا (R2/R1)2 سريعتر کاهش مي‌يابد.
آنچه درباره‌ي حباب در هر کتاب متن جاري‌اي که درباره‌ي کشش سطحي بحث کرده است [1 و 2] مي‌توان ديد اين است که نيروهاي تعادليِ وارد بر نيمه‌ي راستِ پوسته‌ي کرويِ شکلِ 4 بدين قرارند (شکل 5 را ببينيد): نيروي روبه‌چپِ ناشي از کشش سطحيِ سطح خارجي پوسته که برابر است با 2πR2γ، نيروي روبه‌چپِ ناشي از کشش سطحيِ سطح داخلي پوسته که برابر است با 2πR1γ، نيروي روبه‌چپِ ناشي از فشارِ گازِ بيروني، p2، که برابر است با p2(πR22)، و نيروي روبه‌راستِ ناشي از فشار گاز داخلي، p1، که برابر است با p1(πR12). چون اين نيمه درحال تعادل است پس:
2πR2γ+2πR1γ+p2πR22=p1πR12 ? γ=(p1R12-p2R22)/(2(R1+R2))
ما البته مي‌توانيم راه‌هاي آزمايشگاهي‌اي براي بررسيِ اعتبار يا عدمِ اعتبارِ اين رابطه طرح‌ريزي کنيم، اما حتي قبل از اين‌کار مي‌توانيم در اعتبار آن با درنظر گرفتن اين حقيقت که اين رابطه حداقل در يک حالت درست نيست تأمل کنيم: هنگامي که R1 صفر است و پوسته‌ي کروي اکنون درواقع يک قَطره‌ي توپُرِ داراي سطحي کروي مي‌باشد. در اين حالت رابطه‌ي اخير کميّتي منفي براي γ به‌دست مي‌دهد، و اين به‌وضوح غيرِعقلاني است. اِشکال، ازجمله، ناشي از درنظر نگرفتنِ نيروي ناشي از فشار داخلِ مايع به‌عنوانِ يکي از نيروهاي تعادلي مي‌باشد.
از آنجا که در بسياري از حباب‌ها R1 و R2 بسيار به يکديگر نزديکند آنها را تقريباً برابر با يکديگر درنظر مي‌گيريم و درنتيجه با فرضِ R1=R2=R رابطه‌ي اخير به‌شکلِ γ=(p1-p2)R/4 ظاهر مي‌شود که نتيجه‌ي
p1-p2=4γ/R
را به‌بار مي‌آورد که از آنجا که از رابطه‌ي اصلي نتيجه شده است داراي همان تناقضِ عدمِ تواناييِ تعميم يافتن به يک قطره‌ي توپُر مي‌باشد. و تعجب‌آور اين‌که به‌جاي تلاش براي يافتنِ علتِ وجوديِ اين تناقض به‌منظورِ رفعِ آن، از استدلالي کاملاً متفاوت براي حالتِ خاصِ يک قطره‌ي توپر استفاده مي‌شود[1 و 2]! در اين استدلال تنها سه نيروي وارد بر يک نيمه‌ي قطره درنظر گرفته مي‌شود. با مراجعه به شکلِ 6 اين نيروها عبارتند از: نيرويِ روبه‌راستِ وارد بر سطحِ جداييِ دو نيمه‌ي قطره ناشي از فشارِ داخلِ مايع، pi، که برابر است با pi(πR2) که در آن R شعاعِ کُره است، نيروي روبه‌چپِ وارد بر سطح کرويِ اين نيمه ناشي از فشارِ گازِ خارج از مايع، p2، که برابر است با p2(πR2)، و نيروي روبه‌چپِ ناشي از کششِ سطحيِ سطح قطره که برابر است با 2πRγ. چون اين نيمه درحال تعادل است پس:
pi(πR2)=p2(πR2)+2πRγ ? pi-p2=2γ/R
معلوم نيست که درحالي‌که فشارِ داخلِ مايع در اين استدلال مي‌تواند نيرويي اِعمال کند که به‌عنوانِ يک نيرويِ تعادلي درنظر گرفته مي‌شود، چرا در استدلالِ منجر به دو رابطه‌ي قبل نمي‌تواند چنين کند! اين تناقضات اعتبار دو رابطه‌ي رايجِ اخير را به‌طورِ جدي زير سؤال مي‌بَرَد.
 

نقشِ چسبندگي در تعديل فشار
 

رشته‌اي از مولکول‌هاي يک مايع را که با اِعمالِ جاذبه‌ي بينِ مولکولي به‌يکديگر پيوسته‌اند درحالي‌که دو مولکولِ انتهايي با اِعمالِ جاذبه‌ي بينِ مولکولي بر مولکول‌هاي ديوارهاي يک ظرفِ ثابت شده به اين ديوارها چسبيده‌اند درنظر گيريد. قسمتِ ميانيِ اين رشته بر اثرِ وزن مولکول‌ها به‌طرفِ پايين شکم مي‌دهد. واضح است که اگر فاصله‌ي بين ديوارها افزايش يابد به‌علتِ کثرتِ بيشترِ مولکول‌ها در رشته که باعث افزايشِ وزن رشته مي‌شود، رشته بيشتر شکم مي‌دهد و باعث کاهشِ ارتفاع قسمتِ مياني‌اش مي‌شود. (وضعيت شبيه کابل‌هاي حامل جريان برق است که در اثر وزنِ خود شکم مي‌دهند.)
به‌علتِ جاذبه‌ي بين مولکوليِ بين مولکول‌هاي يک مايعِ واقعي، مايع تقريباً از ايده‌آل بودن خارج مي‌شود و تقريباً حالتِ يک ماده‌ي ژله‌اي را به‌خود مي‌گيرد، يعني به‌علتِ جاذبه‌ي بينِ مولکول‌هايش تقريباً يک حالت پيوستگي مي‌گيرد. (و درست همين حالت ژلاتيني باعث مي‌شود که يک سوزنِ چربِ قرار گرفته روي سطح آب باعثِ تغييرِ فُرم سطح آب به‌گونه‌اي شود که بتواند آن‌را تحمل نمايد، درست همانگونه که يک ژله با تغييرِ مناسبِ فُرمِ سطح خود مي‌تواند وزنه‌اي قرار گرفته بر روي خود را تحمل کند. بنابراين لزومي به فرضِ غشايي الاستيکي ناشي از کشش سطحي واقع بر روي مايع (آبَکي) رقيقِ زيرِ غشاء، که با قرار دادنِ سوزن بر روي آن شکلِ آن به‌علتِ کشسانيِ آن و حالتِ آبَکي زير آن تغيير مي‌کند، نمي‌باشد.) اين حالتِ پيوستگي هماني است که اخيراً به‌صورتِ رشته مولکول‌هاي پيوسته‌به‌يکديگر درمورد آن صحبت شد. روشن است که اگر نيروي جاذبه‌ي بينِ مولکولي‌اي بين مايع و بدنه‌ي ظرف محتويِ مايع وجود داشته باشد اين پيوستگي شامل بدنه هم خواهد شد يعني وضعيت چنان خواهد بود که مقداري از وزن مايعِ ژلاتينيِ ما از ديوارهاي ظرف آويزان خواهد بود، درست همانگونه که رشته‌هاي مورد بحث از بدنه آويزانند. اين به‌اين معناست که قسمتي از وزن مايع توسط ديواره‌هاي ظرف تحمل گشته و همه‌ي وزن مايع بر کفِ ظرف وارد نمي‌شود.
به‌اين‌ترتيب نتيجه مي‌گيريم که اولاً هرچه جاذبه‌ي بينِ مولکولي بينِ مايع و ظرف بيشتر باشد درصدِ بيشتري از وزن مايع توسط ديواره‌هاي ظرف تحمل مي‌شود (توجه داشته باشيد که اين درصد توسط سراسرِ ديوارهاي ظرف که در تماس با مايع هستند تحمل مي‌شود نه فقط توسط مولکول‌هاي موجود در امتدادِ خط تماسِ سطح مايع با بدنه؛ مي‌توان تصور کرد که مايع متشکل از رشته‌هاي زيادي مشابه با رشته‌هاي مورد بحث، که هر انتهايِ هرکدام به نقطه‌اي از بدنه چسبيده است، مي‌باشد)، و ثانياً با فرضِ اين‌که ارتفاعِ مايع ثابت نگاه‌داشته شود هرچه قُطرِ ظرف بيشتر باشد درصدِ کمتري از وزنِ قسمت‌هاي ميانيِ مايع توسطِ ديواره‌هاي ظرف تحمل مي‌گردد (درست همانگونه که ديديم که با طولاني شدنِ رشته، فاصله‌ي بين آن و کف کاهش مي‌يابد). اين به اين معناست که بايد انتظار داشته باشيم که هرچه نيروي چسبندگي بين مولکول‌هاي مايع و ظرف بيشتر باشد يا هرچه قطر ظرف کمتر باشد فشار مايع بر کفِ ظرف کمتر خواهد بود.

اثرِ وجودِ چسبندگي
 

در شکل 7(a) فرض کنيد بدنه‌ي لوله‌ از چنان چنسي باشد که جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ بينِ يک مولکول از آن و يک مولکول از يک مايعِ داخلِ آن بسيار بيش از جاذبه‌ي بين مولکوليِ بينِ دو مولکول از مايع باشد.

به‌علاوه اجازه دهيد که کفِ لوله از چنان جنسي باشد که جاذبه‌ي بينِ مولکوليِ بين يک مولکول از آن و يک مولکول از مايع درست برابر با جاذبه‌ي بينِ مولکولي بينِ دو مولکول از مايع باشد. به‌علاوه، فرض کنيد بر دهانه‌ي فوقانيِ لوله، حلقه‌اي (نشان داده شده با O در شکل) از چنان جنسي که مولکول‌هاي آن اصلاً مولکول‌هاي مايع را جذب نمي‌کنند جوش خورده است. مي‌خواهيم ببينيم شکلِ نهاييِ يک مقدارِ مشخص از مايعِ ريخته شده به داخلِ لوله چيست.
فرض کنيد در لحظه‌ي نخست، مايع داراي شکلِ تراز نشان داده شده در 7(b) باشد. آن مولکول‌هايي از بدنه‌ي لوله که بلافاصله بالاتر از سطح تراز مايع در 7(b) قرار دارند نيروي جاذبه‌ي قويِ خود را بر مولکول‌هاي مجاور از سطح مايع اِعمال مي‌کنند. چون اين نيرو بسيار قوي‌تر از نيروي جاذبه بين مولکول‌هاي مايع است اين مولکول‌ها به‌سمتِ ديواره‌ي لوله کشيده شده و شکل 7(c) را به‌بار مي‌آورند. به‌علتِ جاذبه‌ي قوي (گرچه کوتاه‌بُردِ) بينِ مولکول‌هاي لوله و مايع، اين روند ادامه مي‌يابد تا شکلِ 7(f) به‌دست آيد که در آن مولکول‌هاي مايع ديگر به‌سمتِ ديواره کشيده نمي‌شوند زيرا به حلقه‌ي O که اصلاً هيچ نيروي جاذبه‌اي بر مولکول‌هاي مايع وارد نمي‌آوَرَد رسيده‌اند. (مطمئناً اگر اين حلقه وجود نداشته باشد مولکول‌هاي مايع به خارج از لوله کشيده خواهند شد. اين همان پروسه‌اي است که براي هليمِ مايع که جاذبه‌ي بين مولکولي بين مولکول‌هاي آن بسيار کمتر از جاذبه‌ي بين مولکولي بين مولکول‌هاي آن و ظرفش مي‌باشد رخ مي‌دهد.)
آنچه کاملاً واضح است و هيچ فيزيکداني نمي‌تواند آن‌را انکار کند اين است که در حالتِ نهايي که مايع به شکلِ 7(f) ثابت مي‌مانَد فشار در کفِ لوله بسيار کمتر از فشار در کف است اگر قرار بود جاذبه‌ي بين مولکولي‌اي بين مايع و ديواره‌ي لوله وجود نداشته باشد (يا حداقل اين جاذبه بسيار کمتر باشد). دليلِ آن به‌روشني اين است که درصدِ بزرگي از وزن مايع به‌وسيله‌ي مولکول‌هاي ديوار لوله که مولکول‌هاي مايع را چسبيده به‌خود نگاه‌مي‌دارند تحمل مي‌شود (همچنانکه قبلاً گفتيم جاذبه‌ي بين مولکولي بين مولکول‌هاي مايع که باعث پيوستگيِ تقريبيِ مولکول‌هاي مايع مي‌گردد باعث مي‌شود که درصد بزرگي از وزن مايع از ديوار لوله آويزان يا درواقع به‌وسيله‌ي آن تحمل شود)، بنابراين وزن مايع ديگر تماماً بر کف لوله وارد نخواهد شد که اين امر باعث کاهشِ زيادِ فشار در مقايسه با وقتي که جاذبه‌ي بين مولکولي‌اي بين مايع و بدنه وجود ندارد مي‌شود. نکته‌ي ديگر اين‌که همچنانکه قبلاً ديديم و گفتيم اين درصد از وزن مايع توسط همه‌ي مولکول‌هاي ديوار لوله که در تماس با مايع هستند تحمل مي‌شود نه فقط توسط مولکول‌هاي موجود در امتدادِ خط تماسِ سطح مايع با ديوار لوله (که دايره‌اي زير حلقه‌ي O مي‌باشد).
البته موردِ شکلِ 7(f) موردي تقريباً ايده‌آل مي‌باشد. براي يک موردِ معمول‌تر که در آن جاذبه‌ي بينِ مولکولي بين يک مولکولِ مايع و يک مولکولِ بدنه لزوماً خيلي بيش از جاذبه‌ي بين مولکولي بين دو مولکول مايع نباشد پروسه‌ي شکل اخير روي مثلاً شکلِ 7(d) متوقف مي‌شود زيرا اکنون جاذبه‌ي بين مولکولي بين مايع و بدنه تنها آن اندازه زياد است که اجازه‌ي تحملِ وزنِ مايعِ چسبيده به ديواره‌ي لوله بيش از آنچه مي‌توان در شکل 7(d) ديد را ندهد. به‌هرحال واضح است که در حالتِ ثابتِ شکلِ 7(d) نيز، به‌ همان دليلِ فوق‌الذکر، فشار در کف کمتر از آن‌چيزي است که اگر جاذبه‌ي بين مولکولي بين مايع و بدنه وجود نداشت مي‌بود.
فاکتور ديگري وجود دارد که فشار در مايع را کاهش مي‌دهد. اين فاکتور، کاهشِ فشار چسبندگي در مايعِ شکل 7(d) (يا 7(f)) درقياس با شکل 7(b) به‌علتِ افزايشِ سطح مايع است (توجه داشته باشيد که همچنانکه تاکنون ديده‌ايم فشار چسبندگي در توده‌اي از مايع، با افزايشِ سطح آن کاهش مي‌يابد).

اثرِ عدمِ وجودِ چسبندگي
 

حال لوله‌اي کاملاً مشابه با لوله‌ي شکل 7(a)، با اين تنها تفاوت که ديوار آن از چنان جنسي باشد که اصلاً هيچ جاذبه‌ي بين مولکولي‌اي بين آن و مايعِ شکل 7 وجود نداشته باشد، را درنظر گيريد. اجازه دهيد مايعي از همان نوعِ مايع شکل 7(b) را در آن بريزيم. واضح است که چون هيچ پيوند جاذبه‌ي بين مولکولي‌اي بين مايع و بدنه وجود ندارد سطح فوقاني مايع تا کفِ لوله به‌شکلِ يک سطح منحنيِ هموار ادامه مي‌يابد: شکل 8(a) را ببينيد.

اين به‌معناي افزايش در فشار چسبندگي در مايع و بالتبع بر کفِ لوله است زيرا اين فشار ديگر فقط ناشي از نيروي برايند جاذبه‌ي بين مولکوليِ روبه‌داخلِ وارد بر مولکول‌هاي سطح فوقاني (توسط مولکول‌هاي مجاور با اين سطح) نيست بلکه ناشي از نيروي برايندِ جاذبه‌ي بين مولکوليِ روبه‌داخلِ وارد بر مولکول‌هاي سطح جانبيِ ستون مايع (توسط مولکول‌هاي مايعِ مجاور با اين سطح) که پيوند جاذبه‌اي با بدنه ندارند نيز مي‌باشد. پس در مقايسه با وقتي که جاذبه‌ي بين مولکولي بين مايع و بدنه وجود دارد فشار بر کف لوله افزايش مي‌يابد.
موردِ فوق موردي تقريباً ايده‌آل است. در موردِ معمول‌ترِ شکل 8(b) که جاذبه‌ي بين مولکوليِ ضعيفي بين لوله و مايع وجود دارد نيروي برايند جاذبه‌ي بين مولکوليِ روبه‌خارجِ اِعمال شده بر مولکول‌هاي مايعِ مماس با ديوار لوله به‌وسيله‌ي مولکول‌هاي ديوار لوله‌ي مجاور با آنها آنقدر کمتر از نيروي برايند جاذبه‌ي بين مولکوليِ روبه‌داخلِ اِعمال شده بر اين مولکول‌ها به‌وسيله‌ي مولکول‌هاي داخليِ مجاور از مايع مي‌باشد که همچنان فشار چسبندگيِ اضافي‌اي ناشي از اين اختلاف موجود بين نيروهاي برايند وارد بر مولکول‌هاي سطح جانبيِ مايع در داخل مايع احساس مي‌شود. اين فشار چسبندگي اضافي باعث مي‌شود که فشار در داخل مايع و درنتيجه بر کفِ لوله بيش از وقتي باشد که نيروي جاذبه‌ي بين مولکولي بين مايع و بدنه به‌اندازه‌ي کافي بزرگ است.
فاکتور ديگري وجود دارد که فشار بر کفِ لوله را افزايش مي‌دهد: به‌علتِ عدمِ وجود (يا ضعيف بودنِ) جاذبه‌ي بين مولکولي بين مايع و ديوار لوله در مقايسه با وقتي که اين جاذبه به‌اندازه‌ي کافي قوي است ديگر هيچ درصدي از وزن ستون مايع توسط ديوار تحمل نمي‌شود و همه‌ي اين وزن بر کفِ لوله وارد مي‌شود که باعث افزايشِ فشار در مقايسه با وقتي مي‌شود که مقداري از وزن توسط ديوار تحمل مي‌شود.

لوله‌هاي موئينِ ته‌باز
 

فرض کنيد که ارتفاع مايع در لوله‌هاي موئينِ شکل‌هاي 7(d) و 8(b) آن‌قدر زياد است که در هر لوله فشار در تمام نقاطِ کفِ لوله يکسان است. اجازه دهيد ظرفي بزرگ و عميق را از همان نوع مايعِ موجود در اين لوله‌ها پر کنيم. فهميديم که فشار در کف لوله‌ي شکل 7(d) کم و در کفِ لوله‌ي شکل 8(b) زياد بود. دو نقطه‌ي a و b را در داخل مايعِ ظرف درنظر مي‌گيريم به‌گونه‌اي که فشار در نقطه‌ي نخست (a) برابر با فشارِ مايع در کفِ لوله‌ي شکل 7(d) و در نقطه‌ي دوم (b) برابر با فشار مايع در کف لوله‌ي شکل 8(b) باشد. حال لوله‌هاي شکل 7(d) و 8(b) را به‌طورِ عمودي تاحدي که (سطح روييِ) کفِ نخستين لوله و نقطه‌ي a در يک تراز و نيز (سطح روييِ) کفِ دومين لوله و نقطه‌ي b در يک تراز واقع شوند در مايعِ ظرف فرو مي‌بريم. واضح است که اگر در اين حالت کف‌هاي اين لوله‌ها را برداريم (و با اين‌کار مايعِ لوله‌ها را به مايع ظرف متصل کنيم)، به‌علتِ برابري فشارهاي داخلي و خارجي در دهانه‌هاي پديد آمده بر اثرِ برداشتنِ کف‌هاي لوله‌ها، ارتفاع و شکل سطح مايع در لوله‌ها اصلاً تغيير نخواهد کرد؛ شکل 9 را ببينيد.

به سه نکته بايد اشاره کنيم:
 

اولاً، استدلال‌هايي که تاکنون ارائه شد ايجاب مي‌کند که شکل سطوحِ مايعِ تصاويرِ 7(d) و 8(b) همچنين به ميزانِ مايعِ ريخته شده در اين لوله‌هاي ته‌بسته بستگي داشته باشد زيرا درواقع همه‌ي مولکول‌هاي مايع و همه‌ي مولکول‌هاي آن قسمت از لوله که در تماس با مايع مي‌باشد در شکل دادن به سطح مايع مؤثرند و با تغيير مقدار مايع اين هردو عامل به‌روشي تغيير مي‌کنند که به‌روشني عدم تغيير سطحِ مايع را ايجاب نمي‌نمايند.
ثانياً، اگر جاذبه‌ي بين مولکولي بين لوله و مايع در لوله‌ي ته‌بسته‌ي شکل 7(d) به آن اندازه زياد باشد که اجازه دهد مقداري از وزن مايع به‌وسيله‌ي کفِ لوله تحمل شود (يعني اگر لوله چندان زياد موئينه نباشد)، واضح خواهد بود که هنگامي که در شکل 9 با برداشتن کفِ لوله در نقطه‌ي a در مايعِ ظرف تلاش مي‌کنيم که ارتفاع و شکل سطح مايع در داخلِ لوله را حفظ کنيم انتهاي پايينِ لوله (يا نقطه‌ي a) هميشه زير سطحِ ترازِ مايع در ظرف خواهد بود. اصولاً انتظار نداريم که در لوله‌اي که به‌اندازه‌ي کافي قطور است (به‌گونه‌اي که مقداري از وزن مايع توسط کف آن تحمل شود) درصورتي‌که کفِ بازِ آن فقط در تماس با سطح مايع ظرف باشد اما اصلاً در آن فرو نرفته باشد، مايع، هرچقدر هم که جاذبه‌ي بين مولکوليِ بين بدنه‌ي لوله و مايع احتمالاً زياد باشد، در لوله بالا رود، درحالي‌که انتظار داريم که اگر در اين حالت لوله اندکي در مايعِ ظرف فرو رود مايع در ظرف بالا رود به‌گونه‌اي که سطح آن در لوله کمي بالاتر از سطح تراز مايع در ظرف باشد. اين خاصيت از لوله‌هاي موئينه را بستگيِ ارتفاعِ صعود به عمق فرورفتگي مي‌ناميم. (به عبارتي کاملاً ساده، و با قبولِ تقريبي دور، اگر فرض کنيم که درحالي‌که جاذبه‌ي بين مولکوليِ به‌اندازه‌ي کافي قوي‌اي بين بدنه‌ي لوله و مايع وجود دارد سطحِ مايع در لوله تقريباً تراز باشد (نه منحني)، و به‌علاوه فرض کنيم که بدنه‌ي لوله فقط بتواند مثلاً نيمي از وزن مايعِ داخلِ لوله را تحمل کند، آنگاه واضح خواهد بود که اگر عمق فرورفتگيِ لوله در مايعِ ظرف h باشد ارتفاع صعود مايع به‌داخلِ لوله نسبت به انتهاي پايينيِ لوله 2h خواهد بود.)
ثالثاً، واضح است که اگر ارتفاع مايع در لوله‌ي شکل 9(b) افزايش يابد، به‌علتِ افزايش در سطح جانبيِ ستون مايع در لوله که باعثِ افزايش در فشارِ چسبندگي (ناشي از جاذبه‌ي روبه‌داخلِ مولکول‌هاي مايعِ اين سطح) مي‌شود فشار در انتهاي پايينيِ لوله افزايش خواهد يافت که باعث مي‌شود ارتفاع مايع در لوله کاهش يابد؛ يعني انتظار داريم که هرچه لوله‌ي موئينه بيشتر در مايع فرورود سطح مايع در لوله (نسبت به سطح تراز مايعِ ظرف) پايين‌تر قرار گيرد. اين خاصيتِ لوله‌هاي موئينه را بستگيِ عمقِ سقوط به عمق فرورفتگي مي‌ناميم.
دو خاصيتِ فوق‌الذکر لوله‌هاي موئينه به‌وسيله‌ي تئوري رايجِ کشش سطحي قابل پيش‌بيني نيست ولذا تأييد آزمايشگاهيِ وجودِ اين دو خاصيت مي‌تواند پشتيبانِ قوي‌اي براي نظريه‌ي ارائه شده در اين مقاله باشد.

پي نوشت ها :
 

[1] فيزيک دانشگاهي، فرانسيس سرز و مارک زيمانسکي و هيو يانگ، ترجمه‌ي فضل‌اله فروتن، نشر علوم دانشگاهي
[2] مکانيک سيالات، ايروينگ ه. شيمز، ترجمه‌ي بهرام پوستي، نشر علم دانشگاهي
 

منبع: https://sites.google.com/site/essaysforrasekhoon/home/surfacetension.pdf
/ن