آيا تا به حال به اين فکر کرده ايد که چگونه مي توانيد ارتفاع ساختمان محل سکونت خود را فقط به کمک يک خط کش اندازه بگيريد؟ مسلماً ارتفاع ساختمان محل سکونت شما خيلي بلندتر از يک خط کش بود و بايد راه راحت تري براي محاسبه ارتفاع ساختمان بدون اندازه گيري مستقيم پيدا کنيد . اين راه راحت تر (که در ادامه توضيح آن را مي خوانيد) استفاده از شکل هاي متشابه است . شکل هاي متشابه کاربردهاي بسياري در زندگي ما دارند . براي مثال ، يکي از بهترين راه هاي دادن آدرس به افراد ، استفاده از نقشه است . نقشه تصويري از دنياي واقعي در ابعاد کوچکتر و متشابه با آن است . نقشه هاي جغرافيايي تصويرهاي متشابهي از وضعيت واقعي را نشان مي دهند . در کنار هر نقشه معمولا مقياس آن نوشته مي شود . براي مثال اگر مقياس نقشه اي يک پنجاه هزارم باشد ، يعني طول فاصله ها روي آن نقشه ، 50000 بار کوچکتر از فاصله واقعي است . به کمک مقياس داده شده مي توان اطلاعاتي از قبيل مساحت يک استان ، کشور ، محيط يا طول خط مرزي يک استان يا فاصله ي بين دو شهر را اندازه گيري کرد . چون نقشه با شکل واقعي کشور متشابه و مقياس داده شده براي نقشه همان نسبت تشابه است ، دانستن نسبت محيط ها و مساحت هاي شکل هاي متشابه بر حسب نسبت تشابه اهميت پيدا مي کند .

همچنين براي مهندسان راه و ساختمان و معماران يا طراحان ، هنگام ساختن يک پروژه ساختماني يا يک وسيله ، طراحي ماکتي که مشابه با ساختمان يا وسيله اصلي است ، کمک مهمي به حساب مي آيد . در دو شکل متشابه ، اندازه هاي اجزاي يک شکل با اندازه هاي اجزاي نظير در شکل ديگر متناسب هستند و اين ويژگي در ساختن تمام ماکت ها رعايت مي شود . اگر به اسباب بازي هايي که کودکان هنگام بازي از آنها استفاده مي کنند نيز دقت کنيد ، مفهوم تشابه را به خوبي درک خواهيد کرد . تفاوت اسباب بازي هايي نظير هواپيما ، ماشين و ... با مدل واقعي آنها در اين است که اندازه هاي اجزاي اسباب بازي ها نسبت به مدل واقعي شان خيلي کوچکتر است .
يکي ديگر از مثال هاي ملموس شکل هاي متشابه ، عکس بزرگ شده يا کوچک شده ي چهره ي انسان است . در عکس هاي 4× 3 و 20× 25 نسبت فاصله ي دو چشم برابر با نسبت فاصله ي بيني تا دهان در دو عکس است . به همين ترتيب ، نسبت موجود در تمام اجزاي متناظر در دو تصوير ثابت مي ماند ، يعني به جز اندازه هاي ابعاد دو عکس ، تفاوت ديگري بين اين دو تصوير ديده نمي شود و در واقع با ديدن هر يک از آنها مي توانيد صاحب عکس را در نظر مجسم کنيد .
در هندسه ي مسطحه دو n ضلعي متشابه هستند ، هرگاه اولا – زاويه هاي آنها نظير به نظير برابر باشند ، ثانيا – اضلاع متناظر آنها متناسب باشند که به نسبت دو ضلع «نسبت تشابه» گفته مي شود . به همين ترتيب در مورد دو مثلث متشابه خواهند بود اما دو مثلث با شرايط کمتري متشابهند . زيرا مي توان ثابت کرد که با برقراري شرايط کمتري براي تشابه دو مثلث ، بقيه شرايط تشابه برقرار مي باشند . حالت هاي تشابه دو مثلث مختلف الاضلاع عبارتند از :
1)اگر دو زاويه از يک مثلث با دو زاويه از مثلث ديگر برابر باشند ، آن دو مثلث متشابه اند .
2)اگر يک زاويه از يک مثلث با يک زاويه از مثلث ديگر برابر و ضلع هاي اين زاويه ها متناسب باشند ، آنگاه آن دو مثلث متشابه اند .
3)هرگاه سه ضلع از مثلثي با سه ضلع از مثلث ديگر متناسب باشند ، آن دو مثلث متشابه اند .
اينک مي توانيد با کمک مثلث هاي متشابه و يک خط کش ارتفاع ساختمان محل سکونت خود را اندازه بگيريد . بدين منظور در هنگام ظهر ، که طول سايه ها خيلي کوتاه است و اندازه گيري آن با خط کش امکان پذير مي باشد ، طول سايه ي ساختمان خود را که بر زمين عمود است و طول سايه ي خود را در حالت ايستاده به وسيله خط کش اندازه بگيريد . سپس قامت و سايه ي خود و همچنين ساختمان و سايه ي آن را ضلع هاي دو مثلث قائم الزاويه در نظر بگيريد و با نوشتن نسبت ضلع هاي نظير در دو مثلث متشابه ، ارتفاع ساختمان را بدست آوريد . (به شکل 1 دقت کنيد.)

البته محاسبه ي ارتفاع يک ساختمان به کمک سايه ي آن ، مسئله اي بوده است که با وجود سادگي آن حلش قرنها به طول کشيده است و به اندازه ي کافي وقت رياضي دانان بزرگ را گرفته است . در حالي که امروزه تقريبا جزو مسئله هاي ساده محسوب مي شود . اين مسئله که به وسيله ي تالس در سده ي ششم تا هفتم قبل از ميلاد طرح وحل شد ، محاسبه ي ارتفاع يک هرم به کمک سايه ي آن بود . اگر ارتفاع مجهول هرم را X ، طول سايه ي آن را a ، فاصله مرکز قاعده هرم تا وسط يک يال آن را c ، ارتفاع يک تير قائم را 1 و طول سايه ي آن را B بناميم ، خواهيم داشت :

اين مسئله که امروز اين قدر ساده به نظر مي رسد در آن زمان کشف فوق العاده اي بود. تالس هنگامي که از مصر به يونان برگشت ، مسئله ي معروف مربوط به تعيين فاصله ي کشتي از ساحل را حل کرد . مطابق شکل (3) براي تعيين فاصله ي کشتي از ساحل ، بدون گذشتن از عرض رودخانه ، نقطه ي C را به فاصله ي مثلا 10 متر از نقطه ي ساحلي مورد نظر انتخاب مي کنيم و اندازه ي زاويه هاي ABC و ACB را تعيين مي کنيم . سپس مثلث ABC را متشابه با مثلث ABC مي سازيم به قسمي که B=B و C =C باشد ، آنگاه با اندازه گيري پاره خط هاي BC و AB و نوشتن تناسب بين اضلاع دو مثلث متشابه ، طول AB يعني فاصله ي کشتي از ساحل را بدست مي آوريم .

اگرچه امروزه هر برج يا ساختماني که ساخته مي شود از قبل اندازه ي ارتفاع آن مشخص است ، اما اگر احيانا از فرط علاقه به رياضيات ، تصميم گرفتيد با کمک مثلث هاي متشابه ارتفاع يا ساختمان را اندازه بگيريد ، کافي است يک مثلث قائم الزاويه با اندازه ي اضلاع زاويه ي قائمه مشخص و دلخواه بسازيد و در فاصله معيني از برج بايستيد . اين فاصله مي تواند از يک متر تا 100 متر باشد . آنگاه با نگاه کردن درامتداد وتر مثلث قائم الزاويه نوک برج را ببينيد و سپس با استفاده از نوشتن تناسب بين اضلاع مثلث هاي متشابه ، ارتفاع برج را بيابيد . البته فراموش نکنيد که در آخر فاصله ي چشم خود را از زمين به عدد بدست آمده اضافه کنيد . (شکل 4)

منبع : دايره المعارف هندسه ، جلد 3 ، انتشارات مدرسه
منبع: مجله اطلاعات علمي شماره 368