«و به اين مايه از دقت وقتي رسيد که از پيدايش او چهار هفته، که بيست و هشت سال باشد، سپري شده بود. و دانست که آسمان و ستاره هاي آسماني جسمند، ... آنگاه به اين انديشه فرو رفت که آيا آسمان و ستارگان الي غيرالنهايه امتداد دارند...، يا آنکه متناهي و محدود به حدودي هستند که ابعادشان در آنجا منقطع و متناهي مي شود... ولي به قوت نظر و تيزهوشي خود دريافت که جسم غير متناهي امر باطل و غير ممکن و معني نامعقول است...»
از کتاب حي ابن يقضان اثر ابن طفيل
اينشتين، هنگامي که به فکر افتاد مدلي براي عالم بسازد، ده سال پيرتر از حي بن يقظان بود! اما او نيز همانند حي بن يقضان در انزوا فکر مي کرد و فقط کاغذ و قلم بيشتر داشت. گر چه داده هاي نجومي هنوز نقش تعيين کننده اي در شناخت کيهان نداشتند، همين قلم و کاغذ و ذهن خلاق اينشتين مفاهيمي را به وجود آورد که درک آن هنوز براي بسياري از فرهيختگان سنگين است. در آن زمان پرسش ها در مورد چگونگي عالم هنوز بسيار ابتدايي بودند. به فضا خاصيتي نسبت داده نمي شد که کسي به دنبال تحقيق آن برآيد. هنوز شناخت ما از کهکشان ها اندک بود. تصوري درست از ابعاد امروزين عالم وجود نداشت. تغيير يا انبساط براي عالم قابل تصور نبود. اينشتين از طريق نظريه ي نسبيت عام کل عالم را به آزمايشگاهي تبديل کرد براي تحقيق خواص و ديناميک پيش بيني پذير آن، و ديديم چگونه از اين طريق علم کيهان شناسي به زبان امروزيش پديد آمد: هندسه ي عالم چگونه است؟ خواص توپولوژيايي آن چيست؟ انحناي آن چقدر است؟ همسانگرد است؟ همگن است؟ متناهي است؟ محدود است؟ تاريخچه ي آن چيست؟ ابتداي زمان کي است؟ انتهاي تحول عالم چيست؟ و هرگونه پرسش ديگري از اين دست که امروزه در علم کيهان شناسي مجاز است؛ و اين از ثمرات نظريه ي نسبيت عام و مدل هاي کيهان شناسي مبتني بر آن است. اهميت اين ثمره هنگامي درک مي شود که به ياد آوريم هزاران سال است که فلاسفه و طبيعيون با اين پرسش ها دست به گريبان بوده اند يا حتي بعضي پرسش ها را ممکن نمي دانسته اند. براي درک اين پرسش ها و پاسخ آن ها شناخت فضاي با انحنا لازم است.

 

شکل1: نقشه ي عالم و تصوير عالم: اگر اجسام آسماني را طوري دسته بندي کنيم که هر دسته در فاصله ي مساوي از کهکشان ما قرار بگيرند. يعني روي کره هايي به شعاع معين و به مرکز کهکشان ما، آنگاه نوري که از کهکشان هاي روي يک کره هم زمان گسيل مي شود، هم زمان هم به ما مي رسد. اما کهکشان هايي که روي کره هاي گوناگون قرار دارند در زمان هاي متفاوت ديده مي شوند و ديدن هم زمان آن ها يعني مشاهده ي هر کدام در گذشته هاي متفاوت! توجه کنيد که اين تصوير به معني مرکز بودن ما در عالم نيست، بلکه از هر کهکشان ديگر هم بنگريم همين تصوير را خواهيم ديد.
 

انحناي فضا
 

زمان و فضا در ماهيت گوناگون اند. با وصف اين، نظريه ي نسبيت به هر دو کمابيش به يک صورت مي نگرد، زمان و فضا را در هم ترکيب مي کند و فضا - زمان را مي سازد که پيکره اي چهار بعدي است. زمان، ديگر مفهوم مطلقي نيست. به اين معني که اگر دو ساعت يکسان را کنار هم بگذاريم و سپس يکي را به دست ناظر متحرکي بسپاريم که از اولي دور شود و پس از مدتي بازگردد، اين دو ساعت زمان يکساني را نشان نخواهد داد.
همين اتفاق براي طول هم مي افتد. حتماً شنيده ايد که گفته اند خط کش متحرک کوتاه مي شود. يعني زمان و مکان، هر دو وابسته به ناظرند. اين اثرها ناشي از اين است که سرعت نور متناهي است؛ و ما هرگاه بخواهيم دو ساعت را که دور از هم اند هم زمان کنيم بايد اين متناهي بودن سرعت نور را منظور کنيم. به علاوه، هيچ چيز، هيچ سيگنالي، نمي تواند سريع تر از نور حرکت کند. به همين دليل وقتي به فاصله هاي دور نگاه مي کنيم در واقع به گذشته مي نگريم. مگر نه اين است که براي ديدن، نياز به نور گسيل شده از شي داريم؛ و مگر نه اين است که نور براي سير خود زمان لازم دارد. پس اگر به ستاره اي نگاه کنيم که صد سال نوري از ما فاصله دارد، چون نوري که به چشم ما مي رسد صد سال در راه بوده است، پس ما صد سال پيش ستاره را مي بينيم و هيچ گاه از حال روز آن ستاره آگاه نيستيم، مگر به پيش بيني از روي نظريه ي تحول ستاره ها.
هنگامي که کهکشاني را رصد مي کنيم که يک ميليون سال نوري از ما فاصله دارد، يا اختروشي را رصد مي کنيم که 5 ميليارد سال نوري از ما فاصله دارد، وضعيت آن ها را در يک ميليون سال يا 5 ميليارد سال پيش مي بينيم. در اين صورت بايد توجه داشته باشيم که آنچه از عالم مي بينيم وضعيت کنوني آن نيست؛ بلکه تصوير فاصله و درخشندگي اجرام آسماني را در لحظه اي رصد نشان نمي دهد. هنگامي که از آسمان عکس مي گيريم اين عکس تصوير عالم را نشان مي دهد. البته اگر عکسي از اجرام نزديک منظومه ي شمسي باشد، اين تصوير تفاوت چنداني با وضع کنوني اين اجرام ندارد. وضع کنوني يا وضع عالم در يک زمان معين را نقشه ي عالم مي ناميم. اگر عکس نجومي از کهکشان هاي دور دست باشد آنگاه ميان تصوير آن منطقه با نقشه ي عالم در آن منطقه تفاوت بسيار وجود دارد و براي به دست آوردن نقشه ي عالم از آن منطقه بايد آن تصوير را تصحيح کرد، چه به لحاظ فاصله ي آن ها، چه درخشندگي آن ها، و چه جزييات ديگر تحول آن ها در طول مدتي که نورشان به ما رسيده است.
علاوه بر اين، بايد به تحول انحناي عالم و ساختار هندسي آن نيز توجه کرد. تا به حال صحبت از انحناي فضا و فضا - زمان نکرديم، اما از نسبيت عام اينشتين ياد گرفته ايم که ماده و انرژي فضا را خم مي کند. تنها هنگامي که تأثير ماده و انرژي را بر فضا در نظر نگيريم مي توانيم فضا را تخت بدانيم؛ تخت مانند همين صفحه ي کاغذ، با اين تفاوت که صفحه ي کاغذ دوبعدي است ولي فضا - زمان چهار بعد دارد.
هندسه ي تخت را اقليدسي مي ناميم. هندسه ي فضا - زمان نسبيت خاص هم، که در آن حضور ماده ناديده گرفته مي شود، تخت است. اما چون بُعد زمان به هر صورت تفاوتي با بُعد مکان دارد، اين فضاي تخت چهار بعدي را شبه اقليدسي مي ناميم. هر دو فضا تخت اند، يعني انحناي هر دو صفر است، ولي يکي دو بعدي است و ديگري چهار بعدي. فضا- زمان چهار بعدي در نزديکي زمين و براي دقت هاي متعارف روزمره تخت است، همان طور که زمينه کروي در شهر و روستاي ما تخت به نظر مي رسد. در حالي که وقتي به کل عالم و تاريخچه ي آن بنگريم، يعني فضا - زمان را در کل بنگريم، آنگاه بايد ديد که ماده و انرژي موجود در آن چه تأثيري بر هندسه ي آن دارد.
نظريه ي نسبيت عام اين رابطه را مشخص مي کند. بر طبق اين نظريه، ماده ساختار هندسي فضا را تعيين مي کند. هر کجا ماده يا انرژي بيشتر است انحناي فضا بيشتر است و شدت ميدان گرانش بيشتر است. تعبير ديگر اين است که ميدان گرانش ناشي از ماده بر رفتار ساعت ها و خط کش ها اثر مي گذارد. ساعت ها در ميدان گرانش قوي کندتر کار مي کنند و خط کش ها کوتاه تر مي شوند. مثلاً فضاي اطراف خورشيد را در نظر بگيريد (شکل 2). براي سهولت جسم، تنها مقطع استوايي خورشيد را رسم کرده ايم، که يک سطح دو بعدي است و مي توان آن را در فضاي سه بعدي غوطه ور ساخت و انحناي آن را ديد. در فواصل زياد از خورشيد، که ميدان گرانش آن ضعيف است، فضا تخت است و مقطع استوايي به يک صفحه ي تخت مي ماند.

 

شکل2-فضاي اطراف خورشيد انحنا دارد. نوري هم که از نزديکي خورشيد بگذرد از اين انحنا پيروي مي کند و منحرف مي شود.
هر چه به خورشيد نزديک تر بشويم انحراف اين سطح از صفحه ي تخت بيشتر مي شود و انحناي فضا نمايان تر. کم ترين فاصله ميان دو نقطه، ديگر خط راست نيست، بلکه خطي است معمولاً با انحنا که به آن ژئودزيک مي گويند. در مورد فضاي اطراف خورشيد، در شکل 2، مي توان به آساني ديد که اين خط اگر با خورشيد زياد فاصله داشته باشد راست و در غير اين صورت خميده است. مي دانيم که نور براي گذر از ميان دو نقطه کمترين فاصله را انتخاب مي کند، يعني نور روي يکي از اين ژئودزيک ها سير مي کند. پس اگر ستاره اي در آسمان در کنار خورشيد قرار بگيرد، نور آن براي رسيدن به چشم ما چون از کنار خورشيد مي گذرد منحرف مي شود، يعني در مسيرش از انحناي فضا تبعيت مي کند. چون ما چشم مان ستاره را در محلي تصوير مي کند که گويي نور به خط راست آمده است، پس محل ستاره را بايد جابه جا ببينيم، نسبت به موقعي که خورشيد و ستاره کنار هم نيستند! اين يک روش شناخت انحناي فضا در نزديکي خورشيد است. اين انحنا با اين انحراف نور را که حدود 1/07 ثانيه ي قوس است، نخستين بار در سال 1919/1298، يعني در اواخر جنگ جهاني اول، ادينگتون و گروهي از منجمان انگليسي که براي رصد همين اثر و کسوف خورشيد به آمريکاي جنوبي رفته بودند، اندازه گرفتند. چون به هنگام روز رصد ستاره هاي نزديک خورشيد امکان ندارد، بايد صبر کرد تا خورشيد بگيرد. پس تنها به هنگام کسوف مي توان مختصات ستاره هاي نزديک خورشيد را اندازه گرفت، آن را با مختصات همان ستاره هنگامي که خورشيد در کنارش نيست يعني شب هنگامي مناسب مقايسه کرد، و از آنجا به انحراف نور دست يافت. همين اثر انحراف نور است که پديده ي همگرايي گرانشي را ايجاد مي کند، يعني اجرام بزرگ آسماني مي تواند مانند عدسي عمل کنند.

ادينگتون رهبريکي از دو هيئتي بود که در سال 1919/1298 مأمور رصد کسوف شد تا انحراف نور ستاره ها را در نزديکي خورشيد بر مبناي پيشگويي نسبيت عام اينشتين تحقيق کند. علت اعزام ادينگتون، برخلاف باور عمومي، اين نبود که وي از حاميان پروپا قرص نسبيت عام بود. بلکه علت اين بود که وي از مخالفان جنگ بود، و همکاران وي در کمبريج تحمل اين را نداشتند که يکي از همکاران ممتازشان به علت مخالفت اصولي اش با جنگ در جنگ جهاني اول شرکت نکند و فراري به حساب بيايد. به اين ترتيب با منصوب کردن وي به رياست هيئت اعزامي، و به اين ترتيب معاف کردنش از جنگ، از اين ننگ رهايي يافتند.

 

شکل3- هنگامي که رويه تخت است نسبت مساحت دو دايره که نسبت شعاع آن ها 2 است، برابر 4 است. اما اگر رويه انحناي مثبت داشته باشد(کره) اين نسبت کمتر از 4، و اگر انحنا منفي باشد اين نسبت بيش از 4 است. انحراف اين نسبت از 4، يا در مورد فضاي سه بعدي از 8، در شمارش تعداد کهکشان ها مؤثر است.
در کيهان شناسي هنگامي که از انحناي فضا صحبت مي کنيم، منظورمان انحناي موضعي در کنار ستاره ها يا کهکشان ها نيست. ما براي بيان هندسه ي کل عالم مجبوريم از تجمع موضعي ماده صرف نظر کنيم. يعني از ساختارهايي مانند ستاره ها، کهکشان ها، و حتي خوشه هاي کهکشاني در مقابل ساختار کل عالم چشم مي پوشيم و فرض مي کنيم ماده ي کل عالم (چه تجمع يافته باشد مانند ستاره ها و کهکشان ها، و چه پخشيده باشد مانند ماده ي ميان - کهکشاني، تابش زمينه ي کيهاني، يا ماده ي تاريک) همگي به طور يکنواخت در کل عالم پخش شده باشند، که اصطلاحاً به آن اشاره ي کيهاني مي گويند. در اين صورت همه ي ماده و انرژي موجود در عالم، انحنايي ميانگين توليد مي کند. هنگامي که از انحناي عالم صحبت مي کنيم منظورمان اين انحناي ميانگين است که در آن از اختلال هاي موضعي ناشي از ساختارهايي مانند کهکشان ها صرف نظر کرده ايم. اين انحناي ميانگين چقدر است؟ کره ساده ترين شکل هندسي با انحناست. آيا هندسه ي چهار بعدي ما هم به همين سادگي است؟ فضاهاي با انحنا ما هم به همين سادگي است؟ فضاهاي با انحنا همواره به سادگي کره ي دو بعدي نيستند. پس فضاي چهار بعدي ما هم مي تواند پيچيده تر از اين ها باشد.

 

شکل4- مجموع زاويه هاي مثلث روي کره از 180 درجه بيشتر است، و روي سطح زيني کمتر. همچنين دو خط موازي روي کره به هم نزديک مي شوند، اما روي سطح زيني از هم دور مي شوند.
 

فضاي متناهي ولي نامحدود
 

صفحه ي تخت دو بعدي را در نظر بگيريد که از هر طرف ادامه دارد. انحناي اين فضاي دو بعدي صفر است؛ چون مرز ندارد مي گوييم نامحدود يا بيکران است؛ چون سطح آن بي نهايت است نامتناهي است. کره هم، به عنوان سطح دو بُعدي، مرز ندارد پس نامحدود است؛ اما سطح آن متناهي است. پس کره مثالي است از يک فضاي متناهي اما نامحدود! تعميم اين مفهوم، يعني فضاي متناهي نامحدود، به ابعاد بالاتر، چون دور از شهود است، معمولاً مشکل است. کره مثالي است از سطحي دو بعدي با انحناي ثابت مثبت، که آن را بسته مي نامند. صفحه ي تخت، انحناي ثابت صفر دارد، که آن را باز مي نامند. اما سطوحي هم هستند با انحناي ثابت منفي (شکل 4)، که آن ها نيز بازند. اگر روي يک سطح يا در يک فضاي تخت، دو خط موازي رسم کنيم، اين دو خط يکديگر را قطع نمي کنند، و فاصله ي آن دو ثابت مي ماند اما در فضاي با انحنا اين طور نيست! مجموع زواياي هر مثلث در فضاي تخت 180 درجه است، اما در فضاي خميده مي تواند بيشتر يا کمتر از 180 درجه باشد! نسبت محيط دايره به قطر آن در فضاي تخت برابر بي نهايت است، اما در فضاي با انحنا اين طور نيست!
دو دايره ي هم مرکز روي صفحه ي تخت در نظر بگيريد که نسبت شعاع دايره اي بزرگ تر به کوچک تر 2 باشد در اين صورت نسبت مساحت دايره ي بزرگ تر به کوچک تر برابر 4 است. اما اگر سطح دو بعدي خميده باشد. ديگر اين طور نيست. اين نسبت روي سطحي با انحناي مثبت کمتر از 4 و روي سطحي با انحناي منفي بيشتر از 4 است. اختلاف اين نسبت ها با 4 هر چه شعاع بزرگ تر باشد بيشتر است. اين عددها در ابعاد بالاتر عوض مي شوند اما نوع استدلال براي شناختن تفاوت ميان فضاهاي با انحناي صفر يا غير صفر همين است.
از فضاي تخت خواص ديگري نيز مي شناسيم که در فضاهاي با انحنا از ميان مي رود. مثلاً اگر سکه اي را از فاصله اي که در آن جا با زاويه ي يک درجه ديده مي شود دور کنيم، مثلاً فاصله اش را دو برابر کنيم، زاويه ي ديد آن کمتر، مثلاً نصف، مي شود. اين رابطه در فضاي با انحنا، ديگر تا اين اندازه بديهي نيست و بستگي به انحنا و فاصله دارد. مثلاً اين نسبت روي کره مي تواند معکوس شود (شکل 7). بنابراين اگر مثلاً عالم انحناي ثابت مثبت مانند کره داشته باشد و ما به اين اثر بي توجه باشيم، به کهکشان ها اندازه هاي دور از واقعيت نسبت خواهيم داد. بنابراين بايد انتظار داشت که فضاهاي با انحنا ويژگي هاي غريبي از خود نشان بدهند.
متأسفانه چون تصور بيش از سه بعد براي بشر نامتعارف است، عموماً تمام تصوراتي که از سطحي با انحناي دو بعدي وجود دارد به ابعاد بالاتر هم تعميم داده مي شود، که معمولاً درست نيست. مثلاً ما تصور مشخصي از انحناي کره داريم. کره مرکزي دارد و فاصله ي تمام نقاط سطح آن تا مرکز برابر است و مرکز هم جزو کره نيست. کره تو و بيرون دارد. در صورتي که اگر موجودهايي دو بعدي تصور کنيم که روي سطح کره زندگي مي کنند، کره را فضايي متناهي ولي نامحدود مي بينند که همگن و همسان گرد است: يعني هيچ نقطه اي روي آن ممتاز نيست و هيچ جهتي هم، از هر نقطه که بنگريم، بر جهتي ديگر امتياز ندارد. اما ما موجودات سه بعدي مي دانيم که مرکز کره نسبت به بقيه ي نقاط ممتاز است. انحناي آنرا هم مي بينيم: يعني اگر بر هر نقطه ي آن خطي يا صفحه اي مماس کنيم، کره در يک طرف آن مي ماند و انحنا، يا دور شدن سطح کره از سطح تخت، ديده مي شود. گرچه انحناي آن را بي واسطه ي سطح تخت هم مي توان دريافت؛ مثلاً از روي مجموع زواياي مثلثي روي آن! اين که انحناي کره را مي بينيم، يعني سطحي تخت مماس بر آن مي توانيم تصور کنيم، به اين علت است که کره، مانند خود ما، در فضايي سه بعدي غوطه ور است و اين فضا براي ما ملموس است. اما اگر فضاي مورد نظر ما سه بعدي، يا حتي چهار بعدي، باشد آن وقت چه؟ قدر مسلم اين که در تعريف فضاي با انحنا، با هر بعدي، مشکلي نداريم. تشخيص انحنا نيز امکان پذير است. اما مثلاً اگر فضا قرار باشد هندسه ي کروي داشته باشد، يعني انحناي آن ثابت و مثبت باشد، آنگاه بي درنگ مي پرسيم پس آن طرف آن چيست؟ اين پرسش در ابعاد بالا ديگر مجاز نيست. تمام فضايي که ما در آن هستيم، به علاوه ي بعد زمان، مجموعاً مي تواند فضايي بسته باشد؛ يا در هر لحظه، فضاي سه بعدي مي تواند فضايي بسته باشد. بدون مرز، يعني نامحدود اما متناهي! پس اين طرف يا آن طرف ديگر مصداق ندارد. البته، اين فضاي سه بعدي يا چهار بعدي با انحناي ثابت را مي توان در فضاي با بعد بيش از چهار غوطه ور ساخت، و آنگاه مانند کره اي دو بعدي و غوطه ور شده در فضاي سه بعدي، از تو و بيرون آن صحبت کرد؛ اما اين تو و بيرون ارتباطي با طبيعت ندارند! اين نخستين تحول در مفاهيم متعارف مربوطه به هندسه ي فضا است که نسبيت عام، و مدل هاي کيهان شناسي مبتني بر آن، در فرهنگ علوم جديد وارد کرده اند. چنين فضايي اعم از اين که بسته، باز يا تخت باشد مي تواند منبسط هم بشود، يعني بزرگ تر بشود. اين انبساط را هم نبايد مانند انبساط سطح دو بعدي روي يک بادکنک دانست که در فضاي سه بعدي باز مي شود، بلکه عالم در حين انبساط، فضاي لازم براي خود را مي آفريند!
ممکن است روزيدريابيم که عالم چهار بعدي نيست، بلکه مثلاً 11 بعدي است، آنگونه که در نظريه ي ريسمان در فيزيک انرژي هاي بالا مطرح مي شود. در اين صورت شايد تعبير ديگري در فضاهاي چهار بعدي لازم داشته باشيم.

شکل 6- انواع زاويه هاي دو بعدي با انحناي منفي. توجه کنيد که تنها رويه ي زين اسبي نيست که انحناي منفي دارد.

شکل7- دو کهکشان به قطر مطلق مساوي را در نظر بگيريد. در فضاي تخت، آن که دورتر است قطر ظاهري کوچک تري دارد. اما در فضايي با انحناي مثبت، کهکشان دورتر مي تواند قطر ظاهري بزرگ تري داشته باشد.

چگونه انحناي عالم را دريابيم دريابيم
 

در ابعاد کيهاني، کهکشان ما همچون نقطه اي به حساب مي آيد، چه برسد به منظومه ي شمسي يا زمين! پس صحبت از انحناي عالم در نزديکي زمين مصداق فيزيکي ندارد. اين مثل آن است که ما بخواهيم روي کره ي زمين انحناي زمين را با خط کش هايي بسيار کوچک تر از ميلي متر (در واقع در حد 10 به توان (26- سانتي متر!) اندازه بگيريم؛ روشن است که در اين مقياس ها زمين مانند صفحه اي تخت است. به همين دليل عالم در نزديکي ما و حتي در نزديکي کهکشان ما، مانند فضاي اقليدسي، تخت است. پس براي درک و اندازه گيري انحناي فضا بايد فواصل بسيار دورتر را دريابيم و در اين فاصله هاي کيهاني با اندازه گيري و رصد به ويژگي هايي دست يابيم که انحناي عالم را مشخص مي کنند. مثلاً دو کره به مرکز منظومه ي شمسي و يکي به شعاع دو برابر ديگري و در ابعاد کيهاني در نظر بگيريم و حجم آن دو را با هم مقايسه کنيم. براي مقايسه ي حجم، تعداد کهکشان هاي موجود در هر کدام را مي شماريم. البته نه به اين آساني!
يکي از خواص عالم، که آن را به تجربه دريافته ايم، همسان گردي آن است. يعني به هر سو که به آسمان و به اعماق کيهان بنگريم عالم همان ريخت را دارد. مثلاً تعداد کهکشان ها و توزيع آن ها در هر جهت يکسان است. البته بايد فاصله آن قدر بزرگ باشد که اثرهاي موضعي، مانند تجمع محلي کهکشان ها، را بتوان ناديده گرفت. به علاوه معقول است که فرض کنيم ما نقطه ي ممتازي را در عالم اشغال نکرده ايم، يعني از هر جاي ديگر به عالم نگاه شود باز هم همسان گرد است. اين فرض را اصل کيهان شناختي مي نامند. اما از اين اصل نتيجه مي شود که عالم همگن نيز هست؛ يعني مثلاً از هر جاي عالم که نگاه کنيم تصوير عالم همان است.
اصل کيهان شناختي کار ما را در تعيين انحناي عالم بسيار ساده مي کند. البته اين ساده سازي لازم است تا در تقريب اول اطلاعات مناسبي از انحناي عالم به دست آوريم. در همين تقريب هم پيچيدگي هاي مدل هاي کيهان شناسي به سبب تنوع در اندازه، شکل، و درخشندگي کهکشان ها، و نوع ماده ي موجود در کيهان به حدي است که هنوز پس از حدود نود سال رصد مرتبط با انبساط عالم، در چگونگي هندسه ي آن ابهام داريم. به رغم اين مشکلات، منجمان و کيهان شناسان روز به روز داده هاي رصدي را براي تعيين انحناي عالم مفصل تر و ظريف تر مي کنند. به علاوه شناخت مدل هاي ممکن در همان چارچوب نسبيت عام، و حتي فراتر از آن، تحليل داده هاي رصدي را آسان مي کند. هنر نسبيت دانان و کيهان شناسان در اين است که بتوانند سازگاري ميان هندسه و مقدار ماده ي موجود در کيهان را درک کنند و به عمق معناي آن راه يابند.
منبع: نشريه نجوم، شماره 192.